ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 198 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 2.6 изображена часть параболы (графика некоторой квадратичной функции) и её ось симметрии. Запишите уравнение оси симетрии.
Перенесите рисунок в тетрадь и достройте параболу. Укажите направление ветвей параболы.
Ответьте на вопросы:
1) Каковы координаты вершины параболы?
2) Чему равно значение у при значении х, равном -4; 1; 3?
3) При каких значениях х значение у равно 0; 3; -3?

Достроим данную параболу для чего:

Выберем на ветви параболы какие-нибудь две точки и отметим на плоскости симметричные им точки, например:
$(-4;6)$ и $(0;6)$, $(-6;0)$ и $(2;0);$

Проведем вторую ветвь параболы через ее вершину $(-2;8)$ и через точки $(0;6)$ и $(2;0);$

Достроим данную параболу для чего:

Выберем на ветви параболы какие-нибудь две точки и отметим на плоскости симметричные им точки. Пусть на параболе будут точки $(-4;6)$ и $(0;6)$, а симметричные им точки будут $(-6;0)$ и $(2;0)$.

Для нахождения этих точек и их симметрии, сначала определим уравнение параболы. Пусть у нас есть квадратичное уравнение параболы в виде $y=a{x}^2+bx+c$. Для нахождения коэффициентов $a$, $b$, $c$, нужно использовать координаты известных точек. Например, подставим точки $(-4;6)$ и $(0;6)$ в уравнение параболы и решим систему уравнений для коэффициентов.

Рассмотрим точку $(0;6)$, подставим её в уравнение параболы:

$$6=a(0{)}^2+b(0)+c$$$$c=6$$

Теперь у нас есть одно уравнение: $y=a{x}^2+bx+6$.

Следующим шагом подставим точку $(-4;6)$ в уравнение:

$$6=a(-4{)}^2+b(-4)+6$$$$6=16a-4b+6$$

Упростим:

$$16a-4b=0$$$$4a-b=0\text{(1)}$$

Далее подставим точку $(2;0)$:

$$0=a(2{)}^2+b(2)+6$$$$0=4a+2b+6$$

Упростим:

$$4a+2b=-6$$$$2a+b=-3\text{(2)}$$

Теперь решим систему уравнений (1) и (2):

$4a-b=0$

$2a+b=-3$

Сложим эти два уравнения:

$$4a-b+2a+b=0+(-3)$$$$6a=-3$$$$a=-\frac{1}{2}$$

Теперь подставим $a=-\frac{1}{2}$ в уравнение (1):

$$4(-\frac{1}{2})-b=0$$$$-2-b=0$$$$b=-2$$

Теперь у нас есть полное уравнение параболы:

$$y=-\frac{1}{2}{x}^2-2x+6$$

Проведем вторую ветвь параболы через её вершину $(-2;8)$ и через точки $(0;6)$ и $(2;0)$.
Вершина параболы находится по формуле $x=\frac{-b}{2a}$. Подставляем $a=-\frac{1}{2}$ и $b=-2$:

$$x=\frac{-(-2)}{2\cdot (-\frac{1}{2})}=\frac{2}{-1}=-2$$

Теперь подставим $x=-2$ в уравнение параболы, чтобы найти $y$:

$$y=-\frac{1}{2}(-2{)}^2-2(-2)+6=-\frac{1}{2}(4)+4+6=-2+4+6=8$$

Таким образом, вершина параболы действительно находится в точке $(-2;8)$.

Теперь используем симметричные точки для построения второй ветви параболы. Симметричные точки $(0;6)$ и $(2;0)$ относятся к первой ветви параболы. Для построения второй ветви, проводим её через вершину $(-2;8)$ и через эти симметричные точки. Это обеспечивает зеркальное отражение параболы относительно оси симметрии $x=-2$.

Таким образом, парабола будет проходить через точки $(0;6)$ и $(2;0)$, а её вторая ветвь будет симметрична первой ветви и будет отражена относительно оси симметрии $x=-2$.