ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 197 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Покажите на каждом графике (см. рис. 2.2) точку его пересечения с осью у и симметричную ей точку. Запишите координаты отмеченных точек. Укажите на графике ещё одну пару симметричных точек и запишите их координаты.

$y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4;$

Точка пересечения с осью $y$: $(0; 4);$

Симметричная ей точка: $(-8; 4);$

Пара симметричных точек: $(-10; 9)$ и $(2; 9);$

$y = \frac{1}{2}x^2 + 3;$

Точка пересечения с осью $y$: $(0; 3);$

Симметричная ей точка: $(0; 3);$

Пара симметричных точек: $(-2; 5)$ и $(2; 5);$

$y = -\frac{1}{3}x^2 — 4x — 15;$

Точка пересечения с осью $y$: $(0; -15);$

Симметричная ей точка: $(-12; -15);$

Пара симметричных точек: $(-3; -6)$ и $(-9; -6);$

$y = -2x^2 + 8x — 6;$

Точка пересечения с осью $y$: $(0; -6);$

Симметричная ей точка: $(4; -6);$

Пара симметричных точек: $(1; 0)$ и $(3; 0);$

Уравнение оси симметрии: $x = -2.$
Ветви параболы направлены вниз;

1)Координаты вершины параболы: $(-2; 8);$

2)Значения функции:

$y(-4) = 6;$

$y(1) \approx 3,5;$

$y(3) = -4;$

3)Значения аргумента:

$y = 0$ при $x = -6$ и $x = 2;$

$y = 3$ при $x \approx -5,25$ и $x \approx 1,25;$

$y = -3$ при $x \approx -6,75$ и $x \approx 2,75;$

$y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4;$
Функция имеет вид квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = \frac{1}{4}$, $b = 2$, и $c = 4$. Чтобы найти точку пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$ в уравнение:

$$y = \frac{1}{4}(0)^2 + 2(0) + 4 = 4$$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ — это $(0; 4)$.

Чтобы найти симметричную точку относительно оси симметрии, нужно знать координаты точки, которая будет находиться на таком же расстоянии от оси симметрии, но с противоположным знаком по оси $x$. Для нахождения оси симметрии используем формулу $x = \frac{-b}{2a}$, где $a = \frac{1}{4}$ и $b = 2$:

$$x = \frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -4$$

Теперь симметричная точка относительно оси симметрии будет на том же уровне по $y$, но с противоположным значением $x$, то есть $(-8; 4)$.

Найдем пару симметричных точек. Для этого подставим $y = 9$ в уравнение и решим относительно $x$. Уравнение примет вид:

$$9 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$$

Вычитаем 4 с обеих сторон:

$$5 = \frac{1}{4}x^2 + 2x$$

Умножаем обе части на 4:

$$20 = x^2 + 8x$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 + 8x — 20 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$\Delta = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 12}{2}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8 — 12}{2} = -10$$

Таким образом, симметричные точки относительно оси симметрии: $(-10; 9)$ и $(2; 9)$.

Ответ:

Точка пересечения с осью $y$: $(0; 4)$;

Симметричная точка: $(-8; 4)$;

Пара симметричных точек: $(-10; 9)$ и $(2; 9)$.

$y = \frac{1}{2}x^2 + 3;$
Функция имеет вид квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = \frac{1}{2}$, $b = 0$, и $c = 3$. Чтобы найти точку пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$:

$$y = \frac{1}{2}(0)^2 + 3 = 3$$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ — это $(0; 3)$.

Симметричная точка относительно оси симметрии будет также иметь координаты $(0; 3)$, так как ось симметрии проходит через точку пересечения с осью $y$.

Теперь найдем пару симметричных точек. Подставим $y = 5$ в уравнение:

$$5 = \frac{1}{2}x^2 + 3$$

Вычитаем 3 с обеих сторон:

$$2 = \frac{1}{2}x^2$$

Умножаем обе части на 2:

$$4 = x^2$$

Корни уравнения:

$$x = \pm 2$$

Таким образом, симметричные точки относительно оси симметрии: $(-2; 5)$ и $(2; 5)$.

Ответ:

Точка пересечения с осью $y$: $(0; 3)$;

Симметричная точка: $(0; 3)$;

Пара симметричных точек: $(-2; 5)$ и $(2; 5)$.

$y = -\frac{1}{3}x^2 — 4x — 15;$
Функция имеет вид квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -\frac{1}{3}$, $b = -4$, и $c = -15$. Чтобы найти точку пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$:

$$y = -\frac{1}{3}(0)^2 — 4(0) — 15 = -15$$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ — это $(0; -15)$.

Симметричная точка относительно оси симметрии будет на том же уровне по $y$, но с противоположным значением $x$. Для нахождения оси симметрии используем формулу $x = \frac{-b}{2a}$, где $a = -\frac{1}{3}$ и $b = -4$:

$$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = \frac{4}{-\frac{2}{3}} = -6$$

Таким образом, симметричная точка относительно оси симметрии будет $(-12; -15)$.

Теперь найдем пару симметричных точек. Подставим $y = -6$ в уравнение:

$$-6 = -\frac{1}{3}x^2 — 4x — 15$$

Вычитаем $-15$ с обеих сторон:

$$9 = -\frac{1}{3}x^2 — 4x$$

Умножаем обе части на $-3$:

$$-27 = x^2 + 12x$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 + 12x + 27 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$\Delta = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 — 108 = 36$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-12 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 6}{2}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{-12 + 6}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-12 — 6}{2} = -9$$

Таким образом, симметричные точки относительно оси симметрии: $(-3; -6)$ и $(-9; -6)$.

Ответ:

Точка пересечения с осью $y$: $(0; -15)$;

Симметричная точка: $(-12; -15)$;

Пара симметричных точек: $(-3; -6)$ и $(-9; -6)$.

$y = -2x^2 + 8x — 6;$
Функция имеет вид квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -2$, $b = 8$, и $c = -6$. Чтобы найти точку пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$:

$$y = -2(0)^2 + 8(0) — 6 = -6$$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ — это $(0; -6)$.

Симметричная точка относительно оси симметрии будет на том же уровне по $y$, но с противоположным значением $x$. Для нахождения оси симметрии используем формулу $x = \frac{-b}{2a}$, где $a = -2$ и $b = 8$:

$$x = \frac{-8}{2 \cdot (-2)} = 2$$

Таким образом, симметричная точка относительно оси симметрии будет $(4; -6)$.

Теперь найдем пару симметричных точек. Подставим $y = 0$ в уравнение:

$$0 = -2x^2 + 8x — 6$$

Умножаем обе части на $-1$:

$$0 = 2x^2 — 8x + 6$$

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$\Delta = (-8)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 — 48 = 16$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 4}{4}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{8 + 4}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{8 — 4}{4} = 1$$

Таким образом, симметричные точки относительно оси симметрии: $(1; 0)$ и $(3; 0)$.

Ответ:

Точка пересечения с осью $y$: $(0; -6)$;

Симметричная точка: $(4; -6)$;

Пара симметричных точек: $(1; 0)$ и $(3; 0)$.