ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 196 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Для каждой параболы, изображённой на рисунке 2.2, укажите:
1) направление ветвей;
2) уравнение оси симметрии;
3) координаты вершины.

$\mathrm{1)y}=\frac{1}{4}{x}^2+2x+4;$

Ветви направлены вверх;

Вершина: $(-4;0);$

Уравнение оси симметрии: $x=-4;$

$\mathrm{2)y}=\frac{1}{2}{x}^2+3;$

Ветви направлены вверх;

Вершина: $(0;3);$

Уравнение оси симметрии: $x=0;$

$\mathrm{3)y}=-\frac{1}{3}{x}^2-4x-15;$

Ветви направлены вниз;

Вершина: $(-6;-3);$

Уравнение оси симметрии: $x=-6;$

$\mathrm{4)y}=-2x^2+8x-6;$

Ветви направлены вниз;

Вершина: $(2;2);$

Уравнение оси симметрии: $x=2;$

$\mathrm{1)y}=\frac{1}{4}{x}^2+2x+4;$
Функция имеет вид квадратичной функции $y=a{x}^2+bx+c$, где $a=\frac{1}{4}$, $b=2$, $c=4$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

Для нахождения вершины параболы используем формулу для координаты $x$ вершины:

$$x=\frac{-b}{2a}$$

Подставляем значения $a=\frac{1}{4}$ и $b=2$:

$$x=\frac{-2}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-4$$

Теперь подставляем $x=-4$ в исходное уравнение для нахождения $y$:

$$y=\frac{1}{4}(-4{)}^2+2(-4)+4=\frac{1}{4}(16)-8+4=4-8+4=0$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-4;0)$.

Уравнение оси симметрии параболы всегда имеет вид $x=-4$, так как ось симметрии проходит через вершину.

Ответ:

Ветви направлены вверх;

Вершина: $(-4;0)$;

Уравнение оси симметрии: $x=-4$.

$\mathrm{2)y}=\frac{1}{2}{x}^2+3;$
Здесь $a=\frac{1}{2}$, $b=0$, $c=3$. Парабола направлена вверх, так как $a>0$.

Для нахождения вершины, используя формулу $x=\frac{-b}{2a}$, подставляем $a=\frac{1}{2}$ и $b=0$:

$$x=\frac{-0}{2\cdot \frac{1}{2}}=0$$

Теперь находим значение $y$, подставив $x=0$ в уравнение:

$$y=\frac{1}{2}(0{)}^2+3=3$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0;3)$.

Ось симметрии параболы проходит через точку $x=0$, поэтому уравнение оси симметрии: $x=0$.

Ответ:

Ветви направлены вверх;

Вершина: $(0;3)$;

Уравнение оси симметрии: $x=0$.

$\mathrm{3)y}=-\frac{1}{3}{x}^2-4x-15;$
Здесь $a=-\frac{1}{3}$, $b=-4$, $c=-15$. Так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз.

Для нахождения вершины, используя формулу $x=\frac{-b}{2a}$, подставляем $a=-\frac{1}{3}$ и $b=-4$:

$$x=\frac{-(-4)}{2\cdot (-\frac{1}{3})}=\frac{4}{-\frac{2}{3}}=4\cdot (-\frac{3}{2})=-6$$

Теперь находим значение $y$, подставив $x=-6$ в уравнение:

$$y=-\frac{1}{3}(-6{)}^2-4(-6)-15=-\frac{1}{3}(36)+24-15=-12+24-15=-3$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-6;-3)$.

Уравнение оси симметрии параболы имеет вид $x=-6$, так как ось симметрии проходит через вершину.

Ответ:

Ветви направлены вниз;

Вершина: $(-6;-3)$;

Уравнение оси симметрии: $x=-6$.

$\mathrm{4)y}=-2x^2+8x-6;$
Здесь $a=-2$, $b=8$, $c=-6$. Так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз.

Для нахождения вершины, используя формулу $x=\frac{-b}{2a}$, подставляем $a=-2$ и $b=8$:

$$x=\frac{-8}{2\cdot (-2)}=\frac{-8}{-4}=2$$

Теперь находим значение $y$, подставив $x=2$ в уравнение:

$$y=-2(2{)}^2+8(2)-6=-2(4)+16-6=-8+16-6=2$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2;2)$.

Ось симметрии параболы проходит через точку $x=2$, поэтому уравнение оси симметрии: $x=2$.

Ответ:

Ветви направлены вниз;

Вершина: $(2;2)$;

Уравнение оси симметрии: $x=2$.