ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 187 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

а) $\frac{\sqrt{x-4}}{2x-16};$

б) $\frac{\sqrt{5-x}}{3x+15};$

в) $\frac{\sqrt{2x}}{x^2+1};$

г) $\frac{\sqrt{-3x}}{x^2-1}?$

а) $\frac{\sqrt{x-4}}{2x-16};$

Имеет смысл при:

$$\{\begin{array}{l}x-4\ge 0\\ 2x-16\mathrm{\ne }0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ge 4\\ 2x\mathrm{\ne }16\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ge 4\\ x\mathrm{\ne }8\end{array}$$

Ответ: $x\in [4;8)\cup (8;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

б) $\frac{\sqrt{5-x}}{3x+15};$

Имеет смысл при:

$$\{\begin{array}{l}5-x\ge 0\\ 3x+15\mathrm{\ne }0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-x\ge -5\\ 3x\mathrm{\ne }-15\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\le 5\\ x\mathrm{\ne }-5\end{array}$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-5)\cup (-5;5]\mathrm{.}$

в) $\frac{\sqrt{2x}}{x^2+1};$

Имеет смысл при:

$$\{\begin{array}{l}2x\ge 0\\ x^2+1\mathrm{\ne }0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2\mathrm{\ne }-1\end{array}\Rightarrow x\ge 0.$$

Ответ: $x\in [0;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

г) $\frac{\sqrt{-3x}}{x^2-1};$

Имеет смысл при:

$$\{\begin{array}{l}-3x\ge 0\\ x^2-1\mathrm{\ne }0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\le 0\\ x^2\mathrm{\ne }1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\le 0\\ x\mathrm{\ne }\pm 1\end{array}$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;0]\mathrm{.}$

а) $\frac{\sqrt{x-4}}{2x-16};$

Имеет смысл при:

Начнем с первого условия. Для того чтобы выражение под квадратным корнем имело смысл, необходимо, чтобы

$$x-4\ge 0.$$

Решение этого неравенства даёт

$$x\ge 4.$$

Теперь рассмотрим второе условие. Для того чтобы знаменатель не обращался в ноль, нужно, чтобы

$$2x-16\mathrm{\ne }0.$$

Решая это, получаем

$$2x\mathrm{\ne }16\Rightarrow x\mathrm{\ne }8.$$

Соединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при $x\ge 4$ и $x\mathrm{\ne }8$.
Ответ: $x\in [4;8)\cup (8;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

б) $\frac{\sqrt{5-x}}{3x+15};$

Имеет смысл при:

Рассмотрим первое условие. Для того чтобы выражение под квадратным корнем имело смысл, необходимо, чтобы

$$5-x\ge 0.$$

Решение этого неравенства даёт

$$x\le 5.$$

Теперь рассмотрим второе условие. Для того чтобы знаменатель не обращался в ноль, нужно, чтобы

$$3x+15\mathrm{\ne }0.$$

Решая это, получаем

$$3x\mathrm{\ne }-15\Rightarrow x\mathrm{\ne }-5.$$

Соединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при $x\le 5$ и $x\mathrm{\ne }-5$.
Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-5)\cup (-5;5]\mathrm{.}$

в) $\frac{\sqrt{2x}}{x^2+1};$

Имеет смысл при:

Для того чтобы выражение под квадратным корнем имело смысл, необходимо, чтобы

$$2x\ge 0.$$

Решение этого неравенства даёт

$$x\ge 0.$$

Теперь рассмотрим знаменатель. Поскольку $x^2+1$ всегда больше нуля для всех $x$ (поскольку $x^2\ge 0$ и $1>0$), то это условие не накладывает дополнительных ограничений.

Таким образом, выражение имеет смысл при $x\ge 0$.
Ответ: $x\in [0;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

г) $\frac{\sqrt{-3x}}{x^2-1};$

Имеет смысл при:

Для того чтобы выражение под квадратным корнем имело смысл, необходимо, чтобы

$$-3x\ge 0.$$

Решение этого неравенства даёт

$$x\le 0.$$

Теперь рассмотрим второе условие. Для того чтобы знаменатель не обращался в ноль, нужно, чтобы

$$x^2-1\mathrm{\ne }0.$$

Решая это, получаем

$$x^2\mathrm{\ne }1\Rightarrow x\mathrm{\ne }\pm 1.$$

Соединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при $x\le 0$ и $x\mathrm{\ne }\pm 1$.
Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;0]\mathrm{.}$