ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 183 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\sqrt{(\sqrt{5}-2{)}^2};$

б) $\sqrt{11-6\sqrt{2}};$

в) $\sqrt{7+2\sqrt{10}};$

г) $\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}+\sqrt{(2-\sqrt{3}{)}^2};$

д) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}};$

е) $\sqrt{4\sqrt{5}+9}+\sqrt{11-4\sqrt{7}}\mathrm{.}$

а)

$$\sqrt{(\sqrt{5}-2{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{5}-2\mathrm{\mid }=\sqrt{5}-2(5>4\Rightarrow \sqrt{5}>2);$$

б)

$$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{9-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+2}=\sqrt{(3-\sqrt{2}{)}^2}=\mathrm{\mid }3-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=3-\sqrt{2};$$$$(2<9\Rightarrow \sqrt{2}<3);$$

в)

$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}+2}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2}{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{5}+\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{5}+\sqrt{2};$$

г)

$$\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}+\sqrt{(2-\sqrt{3}{)}^2}=\mathrm{\mid }1-\sqrt{3}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }2-\sqrt{3}\mathrm{\mid }=\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}=1;$$$$(1<3<4\Rightarrow 1<\sqrt{3}<2);$$

д)

$$\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}=$$$$=\sqrt{(\sqrt{3}+1{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-1{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{3}+1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\sqrt{3}-1\mathrm{\mid }=\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3};$$$$(3>1\Rightarrow \sqrt{3}>1);$$

е)

$$\sqrt{4\sqrt{5}+9}+\sqrt{11-4\sqrt{7}}=\sqrt{5+2\cdot 2\cdot \sqrt{5}+4}+\sqrt{7-2\cdot 2\cdot \sqrt{7}+4}=$$$$=\sqrt{(\sqrt{5}+2{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{7}-2{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{5}+2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\sqrt{7}-2\mathrm{\mid }=\sqrt{5}+2+\sqrt{7}-2=$$$$=\sqrt{5}+\sqrt{7}(7>4\Rightarrow \sqrt{7}>2);$$

а)

$$\sqrt{(\sqrt{5}-2{)}^2}$$

В данном выражении мы видим квадрат выражения $(\sqrt{5}-2)$. Для того чтобы упростить это выражение, мы воспользуемся свойством квадратного корня и знаем, что квадратный корень из квадрата любого числа равен абсолютному значению этого числа. То есть,

$$\sqrt{(\sqrt{5}-2{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{5}-2\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Теперь рассмотрим, что $\sqrt{5}$ больше чем 2, поскольку

$$\sqrt{5}\approx 2.236\text{и}2.236>2.$$

Таким образом, $\mathrm{\mid }\sqrt{5}-2\mathrm{\mid }=\sqrt{5}-2$.
Ответ:

$$\sqrt{(\sqrt{5}-2{)}^2}=\sqrt{5}-2.$$

б)

$$\sqrt{11-6\sqrt{2}}$$

Чтобы упростить это выражение, начнем с того, что попробуем представить его в виде квадрата разности. Для этого раскроем скобки для $(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2$:

$$(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2=3-2\cdot \sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Сравнив это с выражением $11-6\sqrt{2}$, видим, что оно не совпадает, но подберем такое представление, которое подходит. Попробуем аналогично преобразовать $11-6\sqrt{2}$ с учётом выделения полного квадрата. Мы можем переписать выражение как:

$$11-6\sqrt{2}=(3-\sqrt{2}{)}^2,$$

потому что раскрытие скобок даст нам:

$$(3-\sqrt{2}{)}^2=3^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2=9-6\sqrt{2}+2=11-6\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{2}{)}^2}=\mathrm{\mid }3-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=3-\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}\mathrm{.}$$

в)

$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$$

Попробуем представить выражение $7+2\sqrt{10}$ как квадрат разности или суммы. Для этого распишем квадрат суммы двух чисел:

$$(\sqrt{5}+\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{5}{)}^2+2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2=5+2\sqrt{10}+2=7+2\sqrt{10}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2}{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{5}+\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{5}+\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}\mathrm{.}$$

г)

$$\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}+\sqrt{(2-\sqrt{3}{)}^2}$$

Начнем с упрощения каждого из выражений внутри квадратных корней. Мы знаем, что

$$\sqrt{(a-b{)}^2}=\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Таким образом,

$$\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}=\mathrm{\mid }1-\sqrt{3}\mathrm{\mid }=\sqrt{3}-1(\text{поскольку }\sqrt{3}>1),$$

и

$$\sqrt{(2-\sqrt{3}{)}^2}=\mathrm{\mid }2-\sqrt{3}\mathrm{\mid }=2-\sqrt{3}(\text{поскольку }2>\sqrt{3})\mathrm{.}$$

Теперь суммируем:

$$\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}=1.$$

Ответ:

$$\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}+\sqrt{(2-\sqrt{3}{)}^2}=1.$$

д)

$$\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}$$

Для начала упростим каждую из этих квадратных корней. Раскроем скобки для $(\sqrt{3}+1{)}^2$ и $(\sqrt{3}-1{)}^2$:

$$(\sqrt{3}+1{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2+2\cdot \sqrt{3}\cdot 1+1^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3},$$

и

$$(\sqrt{3}-1{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot 1+1^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Таким образом,

$$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{3}+1\mathrm{\mid }=\sqrt{3}+1,$$

и

$$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{3}-1\mathrm{\mid }=\sqrt{3}-1.$$

Теперь суммируем:

$$\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

е)

$$\sqrt{4\sqrt{5}+9}+\sqrt{11-4\sqrt{7}}$$

Попробуем упростить каждое из этих выражений. Начнем с первого:

$$4\sqrt{5}+9=(\sqrt{5}+2{)}^2,$$

так как

$$(\sqrt{5}+2{)}^2=(\sqrt{5}{)}^2+2\cdot \sqrt{5}\cdot 2+2^2=5+4\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Таким образом,

$$\sqrt{4\sqrt{5}+9}=\sqrt{(\sqrt{5}+2{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{5}+2\mathrm{\mid }=\sqrt{5}+2.$$

Теперь рассмотрим второе выражение:

$$11-4\sqrt{7}=(\sqrt{7}-2{)}^2,$$

так как

$$(\sqrt{7}-2{)}^2=(\sqrt{7}{)}^2-2\cdot \sqrt{7}\cdot 2+2^2=7-4\sqrt{7}+4=11-4\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Таким образом,

$$\sqrt{11-4\sqrt{7}}=\sqrt{(\sqrt{7}-2{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{7}-2\mathrm{\mid }=\sqrt{7}-2.$$

Теперь суммируем:

$$\sqrt{5}+2+\sqrt{7}-2=\sqrt{5}+\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sqrt{4\sqrt{5}+9}+\sqrt{11-4\sqrt{7}}=\sqrt{5}+\sqrt{7}\mathrm{.}$$