ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 182 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Между какими соседними целыми числами заключено выражение:
а)

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}};$$

б)

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$

а)

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=$$

$$$$$$=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}{)}^2-1^2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{4}{)}^2}=$$

$$$$$$=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-1;$$

$4<5<9$;
$2<\sqrt{5}<3$;
$1<\sqrt{5}-1<2$;

Ответ: между 1 и 2.

б)

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}=$$

$$$$$$=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}+\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=$$

$$$$$$=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}+\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}{2}=\frac{\sqrt{7}-1}{2};$$

$4<7<9$;
$2<\sqrt{7}<3$;
$1<\sqrt{7}-1<2$;
$0,5<\frac{\sqrt{7}-1}{2}<1$;

Ответ: между 0 и 1.

а)

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=$$

Каждое из слагаемых можно упростить, используя технику умножения на сопряженные выражения. Начнем с первого слагаемого. Умножаем числитель и знаменатель на $1-\sqrt{2}$:

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{(1{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=\sqrt{2}-1.$$

Аналогично для второго слагаемого:

$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Третье слагаемое:

$$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\cdot \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}=\sqrt{4}-\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Четвертое слагаемое:

$$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{4}{)}^2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}=\sqrt{5}-\sqrt{4}\mathrm{.}$$

Теперь суммируем все результаты:

$$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}\mathrm{.}$$

Вижу, что можно сократить одинаковые слагаемые:

$$(\sqrt{2}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(\sqrt{4}-\sqrt{4})=0.$$

Оставшееся выражение:

$$\sqrt{5}-1.$$

Теперь находим, между какими соседними целыми числами заключено выражение $\sqrt{5}-1$. Знаем, что

$$2<\sqrt{5}<3.$$

Следовательно,

$$1<\sqrt{5}-1<2.$$

Ответ: между 1 и 2.

б)

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}=$$

Каждое из слагаемых опять упрощаем, используя сопряженные выражения. Начнем с первого слагаемого. Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{7}-\sqrt{5}$:

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$

Аналогично для второго слагаемого:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Третье слагаемое:

$$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\mathrm{.}$$

Теперь суммируем все результаты:

$$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}\mathrm{.}$$

Объединяем все числители в одном дробном выражении:

$$\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)}{2}\mathrm{.}$$

Вижу, что можно сократить одинаковые слагаемые:

$$\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{3}=0.$$

Оставшееся выражение:

$$\frac{\sqrt{7}-1}{2}\mathrm{.}$$

Теперь находим, между какими соседними целыми числами заключено выражение $\frac{\sqrt{7}-1}{2}$. Знаем, что

$$2<\sqrt{7}<3.$$

Следовательно,

$$1<\sqrt{7}-1<2,$$

и

$$0.5<\frac{\sqrt{7}-1}{2}<1.$$

Ответ: между 0 и 1.