ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 181 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Составьте какое-нибудь уравнение с рациональными коэффициентами, одним из корней которого является число:

а) $2\sqrt{3}$;
б) $2+\sqrt{3}$;
в) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

а) Корень уравнения: $2\sqrt{3}$;

$$x=2\sqrt{3};$$

$$$$$$x^2=4\cdot 3;$$

$$$$$$x^2=12;$$

$$$$$$x^2-12=0\mathrm{\mid }+5;$$

$$$$$$x^2+5-12=5;$$

$$$$$$x^2-7=5;$$

б) Корень уравнения: $2+\sqrt{3}$;

$\mathrm{1)x}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=2\pm \sqrt{3};$

$2)-\frac{b}{2a}=2$, отсюда $b=-2a\cdot 2=-4a;$
Пусть $a=1$, тогда $b=-4;$

3)$\frac{\sqrt{D}}{2a}=\sqrt{3}\Rightarrow \frac{D}{4a^2}=3$, отсюда $D=3\cdot 4a^2=12;$
$D=b^2-4ac=12$, отсюда $c=\frac{b^2-12}{4a};$
$c=\frac{16-12}{4}=\frac{4}{4}=1;$

4)Уравнение: $x^2-4x+1=0;$

в) Корень уравнения: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$;

$\mathrm{1)x}=\sqrt{2}+\sqrt{3};$
$t=x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6};$
$t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=5\pm 2\sqrt{6};$

$2)-\frac{b}{2a}=5$, отсюда $b=-2a\cdot 5=-10a;$
Пусть $a=1$, тогда $b=-10;$

3)$\frac{\sqrt{D}}{2a}=2\sqrt{6}\Rightarrow \frac{D}{4a^2}=24$, отсюда $D=24\cdot 4a^2=96;$
$D=b^2-4ac=96$, отсюда $c=\frac{b^2-96}{4a};$
$c=\frac{100-96}{4}=\frac{4}{4}=1;$

4)Уравнение:
$t^2-10t+1=0;$
$x^4-10x^2+1=0;$

а) Корень уравнения: $2\sqrt{3}$;
Пусть $x=2\sqrt{3}$. Из этого следует, что $x^2=(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12$.
Таким образом, получаем уравнение:

$$x^2=12$$

Затем приводим его к виду $x^2-12=0$, и прибавляем $5$ с обеих сторон:

$$x^2-12+5=5$$

Результат будет:

$$x^2-7=5$$

б) Корень уравнения: $2+\sqrt{3}$;

1)Мы знаем, что корень уравнения выражается через формулу:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

При этом $x=2\pm \sqrt{3}$. Это означает, что $x=2+\sqrt{3}$ или $x=2-\sqrt{3}$.
2) Рассматриваем выражение для $x$. Для этого мы находим $-\frac{b}{2a}=2$, что дает $b=-2a\cdot 2=-4a$. Пусть $a=1$, тогда $b=-4$.
3) Рассматриваем выражение для $\frac{\sqrt{D}}{2a}=\sqrt{3}$. Это означает, что $\frac{D}{4a^2}=3$, и отсюда $D=3\cdot 4a^2=12$.
Таким образом, дискриминант:

$$D=b^2-4ac=12$$

Теперь находим значение $c$:

$$c=\frac{b^2-12}{4a}=\frac{16-12}{4}=\frac{4}{4}=1$$

4)Таким образом, уравнение имеет вид:

$$x^2-4x+1=0$$

в) Корень уравнения: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$;

1)Пусть $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Тогда квадрат этого числа будет равен:

$$t=x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$$

Таким образом, $t=5+2\sqrt{6}$. Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения:

$$t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=5\pm 2\sqrt{6}$$

2)По аналогии с предыдущим шагом, $-\frac{b}{2a}=5$, отсюда находим $b=-2a\cdot 5=-10a$. Пусть $a=1$, тогда $b=-10$.

3)Следовательно, $\frac{\sqrt{D}}{2a}=2\sqrt{6}$, что приводит нас к выражению $\frac{D}{4a^2}=24$. Это дает $D=24\cdot 4a^2=96$.
Теперь находим значение $c$:

$$D=b^2-4ac=96$$

Отсюда:

$$c=\frac{b^2-96}{4a}=\frac{100-96}{4}=\frac{4}{4}=1$$

4)Таким образом, уравнение будет:

$$t^2-10t+1=0$$

И в результате получаем:

$$x^4-10x^2+1=0$$