ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 179 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;

б) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;

в) $3-\sqrt{2}+\frac{5}{3-\sqrt{2}}$;

г) $\sqrt{(3-4\sqrt{3}{)}^2}-2\sqrt{3}$.

а)

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}\cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})-\sqrt{7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=$$$$=\frac{7-\sqrt{35}-7-\sqrt{35}}{(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{-2\sqrt{35}}{7-5}=\frac{-2\sqrt{35}}{2}=-\sqrt{35};$$

Ответ: иррациональное число.

б)

$$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{7}+\sqrt{5}{)}^2}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=$$$$=\frac{7-2\sqrt{35}+5-(7+2\sqrt{35}+5)}{(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{7-2\sqrt{35}+5-7-2\sqrt{35}-5}{7-5}=\frac{-4\sqrt{35}}{2}=-2\sqrt{35};$$

Ответ: иррациональное число.

в)

$$3-\sqrt{2}+\frac{5}{3-\sqrt{2}}=\frac{(3-\sqrt{2}{)}^2+5}{3-\sqrt{2}}=\frac{9-6\sqrt{2}+2+5}{3-\sqrt{2}}=\frac{16-6\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}};$$

Ответ: иррациональное число.

г)

$$\sqrt{(3-4\sqrt{3}{)}^2}-2\sqrt{3}=\mathrm{\mid }3-4\sqrt{3}\mathrm{\mid }-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-3;$$

Ответ: иррациональное число.

а) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$:

Для начала, чтобы решить эту задачу, нужно объединить дроби с общим знаменателем. Мы умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённые выражения. Рассмотрим первую дробь:

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Умножим её на сопряжённое выражение $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$:

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{7-\sqrt{35}}{7-5}=\frac{7-\sqrt{35}}{2}\mathrm{.}$$

Аналогично второй дроби:

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Умножим её на сопряжённое выражение $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$:

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{7+\sqrt{35}}{7-5}=\frac{7+\sqrt{35}}{2}\mathrm{.}$$

Теперь вычитаем эти два выражения:

$$\frac{7-\sqrt{35}}{2}-\frac{7+\sqrt{35}}{2}=\frac{(7-\sqrt{35})-(7+\sqrt{35})}{2}=\frac{7-\sqrt{35}-7-\sqrt{35}}{2}=\frac{-2\sqrt{35}}{2}=-\sqrt{35}\mathrm{.}$$

Ответ: иррациональное число.

б) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$:

Для решения начнём с того, что мы также применим рационализацию для каждой из дробей. Рассмотрим первую дробь:

$$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Умножим её на сопряжённое выражение $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$:

$$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5}{)}^2}{(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}\mathrm{.}$$

Раскрываем квадрат числителя:

$$(\sqrt{7}-\sqrt{5}{)}^2=7-2\sqrt{35}+5=12-2\sqrt{35}\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2=7-5=2.$$

Таким образом, первая дробь:

$$\frac{12-2\sqrt{35}}{2}=6-\sqrt{35}\mathrm{.}$$

Теперь рассмотрим вторую дробь:

$$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Умножим её на сопряжённое выражение $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$:

$$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5}{)}^2}{(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}\mathrm{.}$$

Раскрываем квадрат числителя:

$$(\sqrt{7}+\sqrt{5}{)}^2=7+2\sqrt{35}+5=12+2\sqrt{35}\mathrm{.}$$

Знаменатель, как и в предыдущем случае:

$$(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2=7-5=2.$$

Таким образом, вторая дробь:

$$\frac{12+2\sqrt{35}}{2}=6+\sqrt{35}\mathrm{.}$$

Теперь вычитаем эти выражения:

$$(6-\sqrt{35})-(6+\sqrt{35})=6-\sqrt{35}-6-\sqrt{35}=-2\sqrt{35}\mathrm{.}$$

Ответ: иррациональное число.

в) $3-\sqrt{2}+\frac{5}{3-\sqrt{2}}$:

Для решения этого выражения сначала рационализируем дробь $\frac{5}{3-\sqrt{2}}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $3+\sqrt{2}$:

$$\frac{5}{3-\sqrt{2}}\cdot \frac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{5(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}\mathrm{.}$$

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$$(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=9-2=7.$$

Числитель:

$$5(3+\sqrt{2})=15+5\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Теперь подставим в исходное выражение:

$$3-\sqrt{2}+\frac{15+5\sqrt{2}}{7}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$3-\sqrt{2}=\frac{21-7\sqrt{2}}{7}\mathrm{.}$$

Теперь сумма:

$$\frac{21-7\sqrt{2}}{7}+\frac{15+5\sqrt{2}}{7}=\frac{21-7\sqrt{2}+15+5\sqrt{2}}{7}=\frac{36-2\sqrt{2}}{7}\mathrm{.}$$

Ответ: иррациональное число.

г) $\sqrt{(3-4\sqrt{3}{)}^2}-2\sqrt{3}$:

Для начала вычислим выражение внутри квадратного корня:

$$(3-4\sqrt{3}{)}^2=9-24\sqrt{3}+48=57-24\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Теперь извлечём квадратный корень:

$$\sqrt{57-24\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Так как $57-24\sqrt{3}$ не является полным квадратом, это выражение даёт абсолютное значение:

$$\mathrm{\mid }3-4\sqrt{3}\mathrm{\mid }-2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Поскольку $3-4\sqrt{3}$ отрицательно, то:

$$\mathrm{\mid }3-4\sqrt{3}\mathrm{\mid }=4\sqrt{3}-3.$$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$4\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-3.$$

Ответ: иррациональное число.