ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 176 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Покажите, что в трапеции ABCD отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две трапеции равной площади, равен среднему квадратичному оснований.

Отобразим условие задачи:

Дано:

• $ABCD$ — трапеция;
• $MN\parallel BC\parallel AD$;
• $S_{AMND}=S_{MBCN}$;
• $BC=b$;
• $AD=a$;
• $MN=x$;

Доказать:

$$x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\mathrm{.}$$

Доказательство:

1)Пусть $h_1$ — высота трапеции $AMND$, а $h_2$ — высота трапеции $MBCN$, тогда $(h_1+h_2)$ — высота трапеции $ABCD$.

2)По условию $S_{AMND}=S_{MBCN}$, значит:

$$h_1\cdot \frac{AD+MN}{2}=h_2\cdot \frac{BC+MN}{2};$$

$$$$$$h_1\cdot \frac{a+x}{2}=h_2\cdot \frac{b+x}{2}\mathrm{\mid }\cdot 2;$$

$$$$$$h_1(a+x)=h_2(b+x);$$

$$$$$$h_1=h_2\cdot \frac{b+x}{a+x};$$

$$$$3)При этом $S_{AMND}+S_{MBCN}=S_{ABCD}$, значит:

$$h_1\cdot \frac{AD+MN}{2}+h_2\cdot \frac{BC+MN}{2}=(h_1+h_2)\cdot \frac{AD+BC}{2};$$

$$$$$$h_1\cdot \frac{a+x}{2}+h_2\cdot \frac{b+x}{2}=(h_1+h_2)\cdot \frac{a+b}{2}\mathrm{\mid }\cdot 2;$$

$$$$$$h_1(a+x)+h_2(b+x)=(h_1+h_2)(a+b);$$

$$$$$$a{h}_1+x{h}_1+b{h}_2+x{h}_2=a{h}_1+b{h}_1+a{h}_2+b{h}_2;$$

$$$$$$x{h}_1+x{h}_2=b{h}_1+a{h}_2;$$

$$$$$$x{h}_1-b{h}_1=a{h}_2-x{h}_2;$$

$$$$$$h_1(x-b)=h_2(a-x);$$

4)Подставим значение $h_1$:

$$h_2\cdot \frac{(b+x)(x-b)}{a+x}=h_2(a-x)\mathrm{\mid }\cdot \frac{a+x}{h_2};$$

$$$$$$(x+b)(x-b)=(a-x)(a+x);$$

$$$$$$x^2-b^2=a^2-x^2;$$

$$$$$$2x^2=a^2+b^2;$$

$$$$$$x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}};$$

Что и требовалось доказать.

Дано: $ABCD$ — трапеция, где $MN\parallel BC\parallel AD$, и трапеции $AMND\sim MBCN$. Пусть $BC=b$, $AD=a$, $MN=x$. Необходимо доказать, что $x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.

Доказательство:

1)Пусть $h_1$ — высота трапеции $AMND$, а $h_2$ — высота трапеции $MBCN$. Таким образом, высота трапеции $ABCD$ будет равна $h_1+h_2$.

2)Из условия задачи известно, что площади трапеций $AMND$ и $MBCN$ равны, то есть:

$$S_{AMND}=S_{MBCN}\mathrm{.}$$

Площадь трапеции $AMND$ можно записать как:

$$S_{AMND}=\frac{1}{2}\cdot (AD+MN)\cdot h_1,$$

а площадь трапеции $MBCN$ — как:

$$S_{MBCN}=\frac{1}{2}\cdot (BC+MN)\cdot h_2\mathrm{.}$$

Так как площади этих трапеций равны, получаем:

$$\frac{1}{2}\cdot (AD+MN)\cdot h_1=\frac{1}{2}\cdot (BC+MN)\cdot h_2\mathrm{.}$$

Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$(AD+MN)\cdot h_1=(BC+MN)\cdot h_2\mathrm{.}$$

Теперь подставим $AD=a$ и $BC=b$:

$$(a+x)\cdot h_1=(b+x)\cdot h_2\mathrm{.}$$

Разделим обе части на 2:

$$h_1\cdot \frac{a+x}{2}=h_2\cdot \frac{b+x}{2}\mathrm{.}$$

Умножим обе части на 2:

$$h_1(a+x)=h_2(b+x)\mathrm{.}$$

Теперь выразим $h_1$ через $h_2$:

$$h_1=h_2\cdot \frac{b+x}{a+x}\mathrm{.}$$

3)Мы также знаем, что $S_{AMND}+S_{MBCN}=S_{ABCD}$. Следовательно, полная площадь трапеции $ABCD$ выражается как сумма площадей $AMND$ и $MBCN$:

$$S_{AMND}+S_{MBCN}=\frac{1}{2}\cdot (AD+MN)\cdot h_1+\frac{1}{2}\cdot (BC+MN)\cdot h_2=(h_1+h_2)\cdot \frac{AD+BC}{2}\mathrm{.}$$

Подставим выражения для площадей:

$$\frac{1}{2}\cdot (a+x)\cdot h_1+\frac{1}{2}\cdot (b+x)\cdot h_2=\frac{1}{2}\cdot (AD+BC)\cdot (h_1+h_2)\mathrm{.}$$

Умножим обе части на 2:

$$(a+x)\cdot h_1+(b+x)\cdot h_2=(a+b)\cdot (h_1+h_2)\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$$a{h}_1+x{h}_1+b{h}_2+x{h}_2=a{h}_1+b{h}_1+a{h}_2+b{h}_2\mathrm{.}$$

Теперь сократим подобные слагаемые:

$$x{h}_1+x{h}_2=b{h}_1+a{h}_2\mathrm{.}$$

Переносим все члены с $x$ в одну сторону:

$$x{h}_1-b{h}_1=a{h}_2-x{h}_2\mathrm{.}$$

Выносим общие множители:

$$h_1(x-b)=h_2(a-x)\mathrm{.}$$

4)Подставим значение $h_1$:

$$h_2\cdot \frac{(b+x)(x-b)}{a+x}=h_2(a-x)\mathrm{\mid }\cdot \frac{a+x}{h_2}\mathrm{.}$$

Сокращаем $h_2$:

$$\frac{(b+x)(x-b)}{a+x}=a-x\mathrm{.}$$

Умножаем обе части на $a+x$:

$$(b+x)(x-b)=(a-x)(a+x)\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$$x^2-b^2=a^2-x^2\mathrm{.}$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$2x^2=a^2+b^2\mathrm{.}$$

Разделим на 2:

$$x^2=\frac{a^2+b^2}{2}\mathrm{.}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\mathrm{.}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}}$.