ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 175 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Покажите, что в трапеции ABCD отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две трапеции, подобные между собой, равен среднему геометрическому оснований.

Отобразим условие задачи:

Дано: $ABGD$ — трапеция; $MN \parallel BC \parallel AD$; $AMND \sim MBCN$; $BC = a$; $AD = b$;
Доказать: $MN = \sqrt{ab}$;

Доказательство:
Трапеции $AMND$ и $MBCN$ подобны, значит:

$$\frac{MN}{BC}=\frac{MN}{AD}$$

$$\frac{MN}{BC} = \frac{MN}{AD}$$ $$\frac{a}{MN}=\frac{MN}{b}$$

$$M{\mathrm{N\times MN}}^{\mathrm{}}=ab$$

$$\frac{a}{MN} = \frac{MN}{b}$$ $$M{N}^2=ab$$

$$MN^2 = ab$$ $$MN = \sqrt{ab}, \text{ что и требовалось доказать.}$$

Дано: $ABGD$ — трапеция, где $MN \parallel BC \parallel AD$, а также $AMND \sim MBCN$ (трапеции подобны). Пусть $BC = a$, $AD = b$. Необходимо доказать, что $MN = \sqrt{ab}$.

Доказательство:

Так как трапеции $AMND$ и $MBCN$ подобны, то из свойств подобных фигур следует, что отношения соответствующих сторон этих трапеций будут равны. Для сторон, параллельных основаниям, получаем:

$$\frac{MN}{BC} = \frac{MN}{AD}.$$

Применим свойства пропорциональности сторон подобных трапеций. Мы знаем, что отношения сторон, параллельных основаниям, равны:

$$\frac{a}{MN} = \frac{MN}{b}.$$

Перемножим обе части этого уравнения:

$$a \cdot b = MN^2.$$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

$$MN = \sqrt{ab}.$$

Таким образом, мы доказали, что средняя линия $MN$ равна $\sqrt{ab}$, как и требовалось.