ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 173 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что среднее квадратичное двух положительных чисел всегда не меньше среднего арифметического этих чисел.

Доказать: $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2}$, где $a$ и $b$ – положительные числа;

$$\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\mathrm{\mid }\cdot 4;$$

$$4(a^2+b^2)\ge (a+b{)}^2;$$

$${\mathrm{4a}}^2+4b^2-a^2-2ab-b^2\ge 0;$$

$$2a^2+2b^2+a^2-2ab+b^2\ge 0;$$

$$2(a^2 + b^2) + (a — b)^2 \geq 0;$$

Верно, так как $a^2 \geq 0$, $b^2 \geq 0$ и $(a — b)^2 \geq 0$.

Доказать: $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2}$, где $a$ и $b$ — положительные числа.

Начнем с того, что возведем обе части неравенства в квадрат. Это не изменит знак, так как обе части положительные:

$$\left( \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \right)^2 \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2$$

Упростим обе части:

$$\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2$$

Разкроем квадрат на правой части:

$$\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \frac{(a + b)^2}{4}$$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$$4 \times \frac{a^2 + b^2}{2} \geq (a + b)^2$$ $$2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2$$

Теперь раскроем квадрат на правой части:

$$2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2$$

Переносим все члены на одну сторону неравенства:

$$2a^2 + 2b^2 — a^2 — 2ab — b^2 \geq 0$$

Упрощаем выражение:

$$a^2 + b^2 — 2ab \geq 0$$

Это выражение можно записать как полный квадрат:

$$(a — b)^2 \geq 0$$

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то:

$$(a — b)^2 \geq 0$$

Таким образом, неравенство справедливо, так как $a^2 \geq 0$, $b^2 \geq 0$ и $(a — b)^2 \geq 0$

Ответ: неравенство верно.