ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 170 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Может ли сумма двух непериодических дробей быть периодической?

1)Рассмотрим иррациональные числа $\sqrt{5}$ и $(6 — \sqrt{5})$. Они являются непериодическими дробями, а их сумма равна:

$$\sqrt{5} + (6 — \sqrt{5}) = 6;$$

2)Число $6$ можно представить в виде периодической дроби:

$$6 = 6,(0);$$

3)Таким образом, сумма двух непериодических дробей может быть периодической;

Ответ: может.

1)Рассмотрим иррациональные числа $\sqrt{5}$ и $6 — \sqrt{5}$. Оба этих числа являются иррациональными, так как $\sqrt{5}$ не может быть выражено как обыкновенная дробь, и аналогично для $6 — \sqrt{5}$, так как разность рационального числа $6$ и иррационального числа $\sqrt{5}$ всё равно даёт иррациональное число. Поскольку оба этих числа иррациональны, они являются непериодическими дробями.

Теперь сложим эти два числа:

$$\sqrt{5} + (6 — \sqrt{5}) = 6.$$

Когда мы складываем $\sqrt{5}$ и $6 — \sqrt{5}$, то $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются, и в результате остаётся просто число $6$.

2)Число $6$ — это целое число, и его можно представить как периодическую дробь. В данном случае оно будет записано как:

$$6 = 6,(0).$$

Это означает, что $6$ можно выразить как периодическую дробь, где периодом является $0$, то есть дробь $6,0000 \ldots$ на самом деле является чистой периодической дробью, так как её десятичная запись повторяется бесконечно с периодом $0$.

3)Мы видим, что несмотря на то, что оба исходных числа $\sqrt{5}$ и $6 — \sqrt{5}$ являются иррациональными и непериодическими, их сумма оказывается рациональным числом $6$, которое может быть представлено в виде периодической дроби. Это приводит нас к выводу, что сумма двух непериодических дробей может быть периодической. Это объясняется тем, что при сложении двух иррациональных чисел иногда может произойти такая ситуация, когда их сумма оказывается рациональной, а значит, её десятичное представление будет периодическим.

Ответ: может.