ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 165 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде обыкновенной дроби:
a) $0,111 \ldots$;
б) $0,101010 \ldots$;
в) $0,010101 \ldots$.

a) $0,111 \ldots = 0,(1)$:
$x = 0,(1)$ и $10x = 1,(1)$;
$9x = 10x — x = 1,(1) — 0,(1) = 1$;
$x = \frac{9}{9} = \frac{1}{1}$;

б) $0,101010 \ldots = 0,(10)$:
$x = 0,(10)$ и $100x = 10,(10)$;
$99x = 100x — x = 10,(10) — 0,(10) = 10$;
$x = \frac{99x}{99} = \frac{10}{99}$;

в) $0,010101 \ldots = 0,(01)$:
$x = 0,(01)$ и $100x = 1,(01)$;
$99x = 100x — x = 1,(01) — 0,(01) = 1$;
$x = \frac{99x}{99} = \frac{1}{99}$.

a) Рассмотрим дробь $0,111 \ldots$, которая имеет периодическое повторение цифры $1$. Это число можно записать как $0,(1)$. Обозначим это число через $x$:

$$x = 0,(1)$$

Теперь умножим обе части на 10, чтобы сдвигать десятичную точку на один знак вправо:

$$10x = 1,(1)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$10x — x = 1,(1) — 0,(1)$$

Решаем это:

$$9x = 1$$

Теперь разделим обе стороны на 9:

$$x = \frac{1}{9}$$

Таким образом, $0,111 \ldots$ равно $\frac{1}{9}$.

б) Рассмотрим дробь $0,101010 \ldots$, которая имеет периодическое повторение цифр $10$. Это число можно записать как $0,(10)$. Обозначим это число через $x$:

$$x = 0,(10)$$

Теперь умножим обе части на 100, чтобы сдвигать десятичную точку на два знака вправо:

$$100x = 10,(10)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$100x — x = 10,(10) — 0,(10)$$

Решаем это:

$$99x = 10$$

Теперь разделим обе стороны на 99:

$$x = \frac{10}{99}$$

Таким образом, $0,101010 \ldots$ равно $\frac{10}{99}$.

в) Рассмотрим дробь $0,010101 \ldots$, которая имеет периодическое повторение цифр $01$. Это число можно записать как $0,(01)$. Обозначим это число через $x$:

$$x = 0,(01)$$

Теперь умножим обе части на 100, чтобы сдвигать десятичную точку на два знака вправо:

$$100x = 1,(01)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$100x — x = 1,(01) — 0,(01)$$

Решаем это:

$$99x = 1$$

Теперь разделим обе стороны на 99:

$$x = \frac{1}{99}$$

Таким образом, $0,010101 \ldots$ равно $\frac{1}{99}$.