ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 164 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде обыкновенной дроби следующую десятичную периодическую дробь (проверьте себя, выполнив деление):

а) $0,(6)$;

б) $0,5(0)$;

в) $0,(12)$;

г) $0,(135)$;

д) $0,2(36)$;

е) $0,31(4)$.

a) $0,(6)=0,666\dots$

$x=0,(6)=0,666\dots$

$10x=6,666\dots$

$10x-x=6,666\dots -0,666\dots$

$9x=6$

$x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

​Ответ: $0,(6)=\frac{2}{3}$

б) $0,5(0)=0,5000\dots$

$x=0,5000\dots$

$10x=5,000\dots$

$100x=50,000\dots$

$100x-10x=45$

$90x=45$

$x=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}$

​Ответ: $0,5(0)=\frac{1}{2}$

в) $0,(12)=0,1212\dots$

х=0,(12)=0,1212…

100x=12,1212…

100x−x=12,1212…−0,1212…

99x=12

$х\; =\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$

​Ответ: $0,(12)=\frac{4}{33}$

г) $1,(135)=1,135135\dots$

x=0,(135)=0,135135…

$\mathrm{1000x}=135,6135135\dots$

$\mathrm{1000x}-x=135,135\dots -0,135\dots$

999x=135

$х=\frac{135}{999}=\frac{5}{37}$

Ответ: $0,(135)=\mathrm{}\frac{5}{37}$

​д)  $0,2(36)=0,2363636\dots$

$x=0,2(36)=0,2363636\dots$

$\mathrm{10x}=2,363636\dots$

$1000x=236,3636\dots$

$1000x-10x=236,363636\dots -2,363636\dots$

$990x=234$

$x=\frac{234}{990}=\frac{26}{110}=\frac{13}{55}$

​Ответ: $0,2(36)=\frac{13}{55}$

е) $2,31(4)=2,314444$

$x=0,314444\dots$

$100x=31,444\dots$

$1000x=314,444\dots$

$1000x-100x=314,444\dots -31,444\dots$

$900x=283$

$x=\frac{283}{900}$

​Ответ: $0,31(4)=\mathrm{}\frac{283}{900}$​

а) Рассмотрим дробь $0,(6)$, что означает периодическое повторение цифры $6$.

Для того чтобы выразить это число в виде обыкновенной дроби, обозначим его через $x$:

$$x = 0,(6)$$

Теперь умножим обе части на 10, чтобы сдвигать десятичную точку на один знак вправо:

$$10x = 6,(6)$$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$10x — x = 6,(6) — 0,(6)$$

Решая это, получаем:

$$9x = 6$$

Теперь разделим обе стороны на 9:

$$x = \frac{6}{9}$$

Упрощаем дробь:

$$x = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Рассмотрим дробь $0,5(0)$, что означает периодическое повторение цифры $0$.

Обозначим это число через $x$:

$$x = 0,5(0)$$

Умножим обе части на 10, чтобы сдвигать десятичную точку на один знак вправо:

$$10x = 5,(0)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$10x — x = 5,(0) — 0,5(0)$$

Решая это, получаем:

$$9x = 4,5$$

Теперь разделим обе стороны на 9:

$$x = \frac{4,5}{9}$$

Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

$$x = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Рассмотрим дробь $0,(12)$, что означает периодическое повторение цифр $12$.

Обозначим это число через $x$:

$$x = 0,(12)$$

Теперь умножим обе части на 100, чтобы сдвигать десятичную точку на два знака вправо:

$$100x = 12,(12)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$100x — x = 12,(12) — 0,(12)$$

Решая это, получаем:

$$99x = 12$$

Теперь разделим обе стороны на 99:

$$x = \frac{12}{99}$$

Упрощаем дробь:

$$x = \frac{4}{33}$$

Ответ: $\frac{4}{33}$.

г) Рассмотрим дробь $0,(135)$, что означает периодическое повторение цифр $135$.

Обозначим это число через $x$:

$$x = 0,(135)$$

Теперь умножим обе части на 1000, чтобы сдвигать десятичную точку на три знака вправо:

$$1000x = 135,(135)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$1000x — x = 135,(135) — 0,(135)$$

Решая это, получаем:

$$999x = 135$$

Теперь разделим обе стороны на 999:

$$x = \frac{135}{999}$$

Упрощаем дробь:

$$x = \frac{15}{111} = \frac{5}{37}$$

Ответ: $\frac{5}{37}$.

д) Рассмотрим дробь $0,2(36)$, что означает периодическое повторение цифр $36$.

Обозначим это число через $x$:

$$x = 0,2(36)$$

Теперь умножим обе части на 100, чтобы сдвигать десятичную точку на два знака вправо:

$$100x = 23,6(36)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$100x — x = 23,6(36) — 0,2(36)$$

Решая это, получаем:

$$99x = 23,4$$

Теперь разделим обе стороны на 99:

$$x = \frac{23,4}{99}$$

Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

$$x = \frac{234}{990}$$

Упрощаем дробь:

$$x = \frac{26}{110} = \frac{13}{55}$$

Ответ: $\frac{13}{55}$.

е) Рассмотрим дробь $0,31(4)$, что означает периодическое повторение цифры $4$.

Обозначим это число через $x$:

$$x = 0,31(4)$$

Теперь умножим обе части на 100, чтобы сдвигать десятичную точку на два знака вправо:

$$100x = 31,(4)$$

Теперь умножим обе части на 10, чтобы сдвигать десятичную точку на один знак вправо:

$$1000x = 314,(4)$$

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$1000x — 100x = 314,(4) — 31,(4)$$

Решая это, получаем:

$$900x = 283$$

Теперь разделим обе стороны на 900:

$$x = \frac{283}{900}$$

Ответ: $\frac{283}{900}$.