ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

$а)$$(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)$

$б)$$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-2)$

$в)$$(1-2\sqrt{2}{)}^2$

$\mathrm{г)}$$2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{5}\cdot 3\cdot \sqrt{15}$

$\mathrm{д)}$$3\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{12}$

е)$$$\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{6\mathrm{/}10}$

$а)$$(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)=(\sqrt{7}{)}^2-2^2=7-4=3$;
Ответ: рациональное число.

$б)$$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-2)=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{3}+2=3-3\sqrt{3}+2=5-3\sqrt{3}$;
Ответ: иррациональное число.

$в)$$(1-2\sqrt{2}{)}^2=1-2\cdot 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2}{)}^2=1-4\sqrt{2}+4\cdot 2=1-4\sqrt{2}+8=9-4\sqrt{2}$;
Ответ: иррациональное число.

$\mathrm{г)}$$2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{5}\cdot 3\cdot \sqrt{15}=(2\cdot 3)\cdot \sqrt{3\cdot 5\cdot 15}=6\cdot \sqrt{15\cdot 15}=6\cdot 15=90$;
Ответ: рациональное число.

$\mathrm{д)}$$3\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=3\cdot \sqrt{2\cdot 3\cdot 12}=3\cdot \sqrt{6\cdot 6\cdot 2}=3\cdot 6\cdot \sqrt{2}=18\sqrt{2}$;
Ответ: иррациональное число.

е)$\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{6\sqrt{10}}=\frac{1}{6}$;
Ответ: рациональное число.

$а)$$(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)$:
Используем формулу разности квадратов, которая гласит, что $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Здесь $a=\sqrt{7}$ и $b=2$. Подставим в формулу:

$$(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)=(\sqrt{7}{)}^2-2^2=7-4=3$$

Ответ: рациональное число.

$б)$$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-2)$:
Используем распределительное свойство умножения для раскрытия скобок:

$$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-2)=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot 2-1\cdot \sqrt{3}+1\cdot 2$$

Теперь вычислим каждое произведение:

$$\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3,\sqrt{3}\cdot 2=2\sqrt{3},1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3},1\cdot 2=2$$

Теперь соберем все члены:

$$3-2\sqrt{3}-\sqrt{3}+2=5-3\sqrt{3}$$

Ответ: иррациональное число.

$в)$$(1-2\sqrt{2}{)}^2$:
Используем формулу квадрата бинома:

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$

Здесь $a=1$ и $b=2\sqrt{2}$. Подставим в формулу:

$$(1-2\sqrt{2}{)}^2=1^2-2\cdot 1\cdot 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2}{)}^2$$

Вычислим каждый член:

$$1^2=1,-2\cdot 1\cdot 2\sqrt{2}=-4\sqrt{2},(2\sqrt{2}{)}^2=4\cdot 2=8$$

Теперь соберем все члены:

$$1-4\sqrt{2}+8=9-4\sqrt{2}$$

Ответ: иррациональное число.

$\mathrm{г)}$$2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{5}\cdot 3\cdot \sqrt{15}$:
Используем свойства корней для упрощения:

$$\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{15},\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}=15$$

Теперь выразим всё в одном выражении:

$$2\cdot \sqrt{15}\cdot 3\cdot \sqrt{15}=2\cdot 3\cdot \sqrt{15}\cdot \sqrt{15}=6\cdot 15=90$$

Ответ: рациональное число.

$\mathrm{д)}$$3\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{12}$:
Используем свойства корней для упрощения:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6},\sqrt{6}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{72}$$

Теперь вычислим:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$$

Итак, выражение становится:

$$3\cdot 6\sqrt{2}=18\sqrt{2}$$

Ответ: иррациональное число.

е)$\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}$:
Сначала упростим числитель, используя свойства корней:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{10}$$

Теперь упростим знаменатель:

$$\frac{6}{10}=0,6$$

Теперь делим:

$$\frac{\sqrt{10}}{0,6}=\frac{\sqrt{10}}{\frac{6}{10}}=\sqrt{10}\cdot \frac{10}{6}=\frac{10\sqrt{10}}{6}=\frac{5\sqrt{10}}{3}$$

Ответ: $\frac{5\sqrt{10}}{3}$.