ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 149 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) а) С помощью числовых примеров выясните, как меняется — увеличивается или уменьшается — значение правильной дроби при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа. (Напомним, что числитель и знаменатель правильной дроби — натуральные числа и числитель меньше знаменателя.)
б) Запишите в буквенном виде установленную закономерность. Докажите записанное неравенство.
2) Проведите такое же исследование для неправильной дроби.

1) Для правильных дробей:

а) Рассмотрим числовые примеры:

$$\frac{3}{4}\text{и}\frac{3+5}{4+5}=\frac{8}{9}\Rightarrow \frac{3}{4}<\frac{8}{9};$$

$$$$$$\frac{1}{2}\text{и}\frac{1+3}{2+3}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{1}{2}<\frac{4}{5};$$

$$$$$$\frac{5}{9}\text{и}\frac{5+7}{9+7}=\frac{12}{16}\Rightarrow \frac{5}{9}<\frac{12}{16};$$

б) Запишем в буквенном виде:

$$\frac{n}{m}<\frac{n+c}{m+c},\text{где }n<m\text{ — натуральные числа и }c>0;$$

Доказательство:

$$\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}=\frac{n(m+c)-m(n+c)}{m(m+c)}=\frac{nc-mc}{m(m+c)};$$

$$$$$$n<m\Rightarrow n-m<0\Rightarrow nc-mc<0;$$

$$$$$$m>0\text{ и }c>0,\text{ значит }m(m+c)>0;$$

Тогда $\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}<0$, отсюда $\frac{n}{m}<\frac{n+c}{m+c}$.

2) Для неправильных дробей:

а) Рассмотрим числовые примеры:

$$\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\text{и}\frac{4+5}{3+5}=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{4}{3}>\frac{9}{8};$$

$$$$$$\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\text{и}\frac{5+3}{2+3}=\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{5}{2}>\frac{8}{5};$$

$$$$$$\frac{6}{4}=1\frac{1}{2}\text{и}\frac{6+6}{4+6}=\frac{12}{10}=1\frac{2}{10}\Rightarrow \frac{6}{4}>\frac{12}{10};$$

б) Представим в буквенном виде:

$$\frac{n}{m}>\frac{n+c}{m+c},\text{где }n>m\text{ — натуральные числа и }c>0;$$

Доказательство:

$$\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}=\frac{n(m+c)-m(n+c)}{m(m+c)}=\frac{nc-mc}{m(m+c)};$$

$$$$$$n>m\Rightarrow n-m>0\Rightarrow nc-mc>0;$$

$$$$$$m>0\text{ и }c>0,\text{ значит }m(m+c)>0;$$

Тогда $\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}>0$, отсюда $\frac{n}{m}>\frac{n+c}{m+c}$.

Для правильных дробей:

а) Рассмотрим числовые примеры:

$$\frac{3}{4}\text{и}\frac{3+5}{4+5}=\frac{8}{9}\Rightarrow \frac{3}{4}<\frac{8}{9};$$

Здесь мы видим, что дробь $\frac{3}{4}$ меньше чем $\frac{8}{9}$. Рассмотрим это более подробно. Первая дробь $\frac{3}{4}$ имеет числитель $3$ и знаменатель $4$, и вторая дробь $\frac{8}{9}$ имеет числитель $8$ и знаменатель $9$. Если сравнить их, можно заметить, что при увеличении числителя и знаменателя пропорции увеличиваются, и результат $\frac{8}{9}$ действительно больше.

$$\frac{1}{2}\text{и}\frac{1+3}{2+3}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{1}{2}<\frac{4}{5};$$

Здесь мы видим, что дробь $\frac{1}{2}$ меньше чем $\frac{4}{5}$. Числитель $1$ и знаменатель $2$ в первой дроби увеличиваются в том числе на единицу, а вторая дробь $\frac{4}{5}$ с числителем $4$ и знаменателем $5$ больше. При вычислениях становится очевидно, что вторая дробь больше.

$$\frac{5}{9}\text{и}\frac{5+7}{9+7}=\frac{12}{16}\Rightarrow \frac{5}{9}<\frac{12}{16};$$

Здесь дробь $\frac{5}{9}$ меньше, чем дробь $\frac{12}{16}$. Чтобы сравнить, заметим, что при увеличении числителя и знаменателя во второй дроби результат возрастает, так как обе части дроби становятся больше, но их соотношение остаётся в пользу второй дроби.

б) Запишем в буквенном виде:

$$\frac{n}{m}<\frac{n+c}{m+c},\text{где }n<m\text{ — натуральные числа и }c>0;$$

Доказательство:

Рассмотрим разницу между двумя дробями:

$$\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}=\frac{n(m+c)-m(n+c)}{m(m+c)}=\frac{nc-mc}{m(m+c)}\mathrm{.}$$

Раскроем числители и знаменатели. Числитель будет выглядеть так:

$$n(m+c)-m(n+c)=nm+nc-mn-mc=nc-mc=(n-m)c\mathrm{.}$$

Это выражение показывает разницу между двумя дробями, которая зависит от разности чисел $n$ и $m$, умноженной на $c$.

Теперь, так как $n<m$, то из этого следует:

$$n-m<0\Rightarrow (n-m)c<0.$$

Так как $c>0$, разность $(n-m)$ остаётся отрицательной, и произведение также отрицательное, что ведет к отрицательному числителю разницы. Это подтверждает, что:

$$\frac{nc-mc}{m(m+c)}<0.$$

Поскольку знаменатель $m(m+c)$ положителен (так как $m>0$ и $c>0$), результат неравенства остаётся отрицательным:

$$\frac{n}{m}<\frac{n+c}{m+c}\mathrm{.}$$

Для неправильных дробей:

а) Рассмотрим числовые примеры:

$$\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\text{и}\frac{4+5}{3+5}=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{4}{3}>\frac{9}{8};$$

Здесь, дробь $\frac{4}{3}$ больше, чем дробь $\frac{9}{8}$. Рассмотрим их в десятичных значениях: $\frac{4}{3}\approx 1.3333$ и $\frac{9}{8}=1.125$. Таким образом, первая дробь явно больше второй.

$$\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\text{и}\frac{5+3}{2+3}=\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{5}{2}>\frac{8}{5};$$

Здесь дробь $\frac{5}{2}$ больше, чем $\frac{8}{5}$, так как первая дробь равна $2.5$, а вторая — $1.6$. Разница значительна, и первая дробь явно больше второй.

$$\frac{6}{4}=1\frac{1}{2}\text{и}\frac{6+6}{4+6}=\frac{12}{10}=1\frac{2}{10}\Rightarrow \frac{6}{4}>\frac{12}{10};$$

Здесь дробь $\frac{6}{4}$ (или $1.5$) больше, чем дробь $\frac{12}{10}$ (или $1.2$).

б) Представим в буквенном виде:

$$\frac{n}{m}>\frac{n+c}{m+c},\text{где }n>m\text{ — натуральные числа и }c>0;$$

Доказательство:

Рассмотрим разницу между двумя дробями:

$$\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}=\frac{n(m+c)-m(n+c)}{m(m+c)}=\frac{nc-mc}{m(m+c)}\mathrm{.}$$

Разкроем числители и знаменатели:

$$n(m+c)-m(n+c)=nm+nc-mn-mc=nc-mc=(n-m)c\mathrm{.}$$

Так как $n>m$, из этого следует:

$$n-m>0\Rightarrow (n-m)c>0.$$

Так как $c>0$, произведение остаётся положительным, и числитель разности будет положительным:

$$\frac{nc-mc}{m(m+c)}>0.$$

Поскольку знаменатель $m(m+c)$ также положителен (так как $m>0$ и $c>0$), неравенство остаётся положительным:

$$\frac{n}{m}>\frac{n+c}{m+c}\mathrm{.}$$