ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 148 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пользуясь неравенством $a+\frac{1}{a}\ge 2$, где $a>0$ (задание 129), докажите, что:

а) $\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2$;

б) $\frac{x^2}{1+x^4}\le \frac{1}{2}$.

Известно, что: $a+\frac{1}{a}\ge 2$, где $a>0$;

а) $\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2$:

$$\frac{(x^2+1)+1}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2;$$

$$$$$$\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2;$$

$$$$$$\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}\ge 2;$$

Пусть $a=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}$, тогда $\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}$, получим:
$a+\frac{1}{a}\ge 2\text{— верно по доказанному в задаче 129;}$

б) $\frac{x^2}{1+x^4}\le \frac{1}{2}$:

$$2x^2\le 1+x^4\mathrm{\mid }:x^2;$$$$2\le \frac{1}{x^2}+x^2;$$$$x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2;$$

Пусть $a=x^2$, тогда $\frac{1}{a}=\frac{1}{x^2}$, получим:
$a+\frac{1}{a}\ge 2\text{— верно по доказанному в задаче 129.}$

Известно, что: $a+\frac{1}{a}\ge 2$, где $a>0$;

а) $\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2$:

Начнем с преобразования левой части неравенства. Мы хотим выразить дробь $\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}$ в более удобной для анализа форме. Разделим числитель на две части:

$$\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{(x^2+1)+1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{.}$$

Теперь это можно переписать как сумму двух дробей:

$$\frac{(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{.}$$

Первая дробь в правой части уравнения $\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}$ можно упростить:

$$\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}\mathrm{.}$$

Теперь рассмотрим вторую дробь $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, она остается неизменной.

Получаем следующее выражение:

$$\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{.}$$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся неравенством $a+\frac{1}{a}\ge 2$, где $a>0$. Пусть $a=\sqrt{x^2+1}$. Тогда $\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Теперь мы можем применить неравенство $a+\frac{1}{a}\ge 2$, получаем:

$$\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2.$$

Таким образом, доказано, что:

б) $\frac{x^2}{1+x^4}\le \frac{1}{2}$:

Начнем с того, что умножим обе части неравенства на $2(1+x^4)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2x^2\le 1+x^4\mathrm{.}$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону:

$$x^4-2x^2+1\ge 0.$$

Преобразуем выражение в квадрат:

$$(x^2-1{)}^2\ge 0.$$

Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то неравенство верно:

$$(x^2-1{)}^2\ge 0.$$

Следовательно, из этого мы можем заключить, что:

$$\frac{x^2}{1+x^4}\ge \frac{1}{2}\mathrm{.}$$