ГДЗ Дорофеев 9 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 144 Дорофеев, Суворова - Подробные Ответы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 144 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

1)Разберите, как доказано неравенство

$\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b},$

где $a > 0$ и $b > 0$ .

2)Пользуясь этим же приемом, докажите неравенство

$\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c},$

где $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ .

Краткий ответ

1) $\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , где $a > 0$ и $b > 0$ :

Представим дробь $\frac{2}{a + b}$ в виде суммы дробей:

$\frac{2}{a + b} = \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + b};$

Так как $a > 0$ и $b > 0$ , то:

$\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a} \quad \text{и} \quad \frac{1}{a + b} < \frac{1}{b};$

Тогда

$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b};$

Значит

$\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.$

2) $\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$ , где $a > 0$ , $b > 0$ и $c > 0$ :

Представим дробь $\frac{3}{a + b + c}$ в виде суммы дробей:

$\frac{3}{a + b + c} = \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c};$

Так как $a > 0$ , $b > 0$ и $c > 0$ , то:

$\frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + b}, \quad \frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + c} \quad \text{и} \quad \frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{b + c};$

Тогда

$\frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c};$

Значит

$\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}.$

Подробный ответ

1) $\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , где $a > 0$ и $b > 0$ :

Для того чтобы доказать неравенство $\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , начнем с того, что представим дробь $\frac{2}{a + b}$ в виде суммы двух дробей, равных $\frac{1}{a + b}$ :

$\frac{2}{a + b} = \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + b}$

Теперь необходимо доказать, что $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a}$ и $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{b}$ . Мы имеем два неравенства:

$\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a}$ : Это можно доказать следующим образом. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$ , то для любого $b$ , не равного нулю, выполняется неравенство:

$a + b < a \quad \text{или} \quad \frac{1}{a + b} < \frac{1}{a}$

Аналогично, для второго неравенства:

$\frac{1}{a + b} < \frac{1}{b}$

Теперь, из этих двух неравенств получаем:

$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Таким образом, $\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .

2) $\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$ , где $a > 0$ , $b > 0$ и $c > 0$ :

Для того чтобы доказать неравенство $\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$ , представим дробь $\frac{3}{a + b + c}$ в виде суммы трех дробей:

$\frac{3}{a + b + c} = \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c}$

Теперь доказуем, что каждая из дробей $\frac{1}{a + b + c}$ меньше, чем соответствующая дробь из правой части неравенства.

$\frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + b}$ :
Пусть $a + b + c > a + b$ . Очевидно, что если числитель остается неизменным, то дробь с большим знаменателем будет меньше, следовательно: