ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 144 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1)Разберите, как доказано неравенство

$$\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b},$$

где $a > 0$ и $b > 0$.

2)Пользуясь этим же приемом, докажите неравенство

$$\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c},$$

где $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$.

1)$\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$, где $a > 0$ и $b > 0$:

Представим дробь $\frac{2}{a + b}$ в виде суммы дробей:

$$\frac{2}{a + b} = \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + b};$$

Так как $a > 0$ и $b > 0$, то:

$$\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a} \quad \text{и} \quad \frac{1}{a + b} < \frac{1}{b};$$

Тогда

$$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b};$$

Значит

$$\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.$$

2)$\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$, где $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$:

Представим дробь $\frac{3}{a + b + c}$ в виде суммы дробей:

$$\frac{3}{a + b + c} = \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c};$$

Так как $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$, то:

$$\frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + b}, \quad \frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + c} \quad \text{и} \quad \frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{b + c};$$

Тогда

$$\frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c};$$

Значит

$$\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}.$$

1)$\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$, где $a > 0$ и $b > 0$:

Для того чтобы доказать неравенство $\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$, начнем с того, что представим дробь $\frac{2}{a + b}$ в виде суммы двух дробей, равных $\frac{1}{a + b}$:

$$\frac{2}{a + b} = \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + b}$$

Теперь необходимо доказать, что $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a}$ и $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{b}$. Мы имеем два неравенства:

$\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a}$: Это можно доказать следующим образом. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то для любого $b$, не равного нулю, выполняется неравенство:

$$a + b < a \quad \text{или} \quad \frac{1}{a + b} < \frac{1}{a}$$

Аналогично, для второго неравенства:

$$\frac{1}{a + b} < \frac{1}{b}$$

Теперь, из этих двух неравенств получаем:

$$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$

Таким образом, $\frac{2}{a + b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

2)$\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$, где $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$:

Для того чтобы доказать неравенство $\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$, представим дробь $\frac{3}{a + b + c}$ в виде суммы трех дробей:

$$\frac{3}{a + b + c} = \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c}$$

Теперь доказуем, что каждая из дробей $\frac{1}{a + b + c}$ меньше, чем соответствующая дробь из правой части неравенства.

$\frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + b}$:
Пусть $a + b + c > a + b$. Очевидно, что если числитель остается неизменным, то дробь с большим знаменателем будет меньше, следовательно:

$$\frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + b}$$

$\frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + c}$:
Аналогично, если $a + b + c > a + c$, то:

$$\frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + c}$$

$\frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{b + c}$:
Также, если $a + b + c > b + c$, то:

$$\frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{b + c}$$

Таким образом, сложив все три неравенства, получаем:

$$\frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$$

Итак, $\frac{3}{a + b + c} < \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$.