ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 135 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что для положительных чисел $p$ и $q$:
а) $p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2;$
б) $p^4 — q^4 \geq p^3q + pq^3.$

Числа $p$ и $q$ — положительные;

а) $p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2$:
$p + q > 0$ и $(p — q)^2 \geq 0$;

$$(p+q)(p-q{)}^2\ge 0;$$

$$(p + q)(p — q)^2 \geq 0;$$ $$(p+q)(p-q)(p-q)\ge 0;$$

$$(p + q)(p — q)(p — q) \geq 0;$$ $$(p^2-q^2)(p-q)\ge 0;$$

$$(p^2 — q^2)(p — q) \geq 0;$$ $$p^2(p-q)-q^2(p-q)\ge 0;$$

$$p^2(p — q) — q^2(p — q) \geq 0;$$ $$p^3-p^{2}q-p{q}^2+q^3\ge 0;$$

$$p^3 — p^2q — pq^2 + q^3 \geq 0;$$ $$p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2;$$

б) $p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3$:
$(p — q)^2 \geq 0$ и $(p^2 + pq + q^2) \geq 0$;

$$(p-q{)}^2(p^2+pq+q^2)\ge 0;$$

$$(p — q)^2(p^2 + pq + q^2) \geq 0;$$ $$(p-q)(p-q)(p^2+pq+q^2)\ge 0;$$

$$(p — q)(p — q)(p^2 + pq + q^2) \geq 0;$$ $$(p-q)(p^3+p^{2}q+p{q}^2-p^{2}q-p{q}^2-q^3)\ge 0;$$

$$(p — q)(p^3 + p^2q + pq^2 — p^2q — pq^2 — q^3) \geq 0;$$ $$(p-q)(p^3-q^3)\ge 0;$$

$$(p — q)(p^3 — q^3) \geq 0;$$ $$p^3(p-q)\ge q^3(p-q)\ge 0;$$

$$p^3(p — q) \geq q^3(p — q) \geq 0;$$ $$p^4-p^{3}q-p{q}^3+q^4\ge 0;$$

$$p^4 — p^3q — pq^3 + q^4 \geq 0;$$ $$p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3;$$

Числа $p$ и $q$ — положительные;

а) $p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2$:

Начнем с разности $p^3 + q^3 — p^2q — pq^2$. Мы перепишем это выражение, чтобы легче было работать с ним:

$$p^3 + q^3 — p^2q — pq^2 = (p^3 — p^2q) + (q^3 — pq^2)$$

Теперь выделим общий множитель в каждом слагаемом:

$$= p^2(p — q) + q^2(q — p)$$

Обратите внимание, что во втором слагаемом можно вынести минус:

$$= p^2(p — q) — q^2(p — q)$$

Теперь выделим общий множитель $(p — q)$:

$$= (p — q)(p^2 — q^2)$$

Здесь мы использовали формулу разности квадратов:

$$p^2 — q^2 = (p — q)(p + q)$$

Таким образом, получаем:

$$= (p — q)^2(p + q)$$

Так как $p$ и $q$ — положительные числа, то $(p — q)^2 \geq 0$ и $p + q > 0$, следовательно:

$$(p — q)^2(p + q) \geq 0$$

Это значит, что:

$$p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2$$

что и требовалось доказать.

б) $p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3$:

Начнем с разности $p^4 + q^4 — p^3q — pq^3$. Запишем это выражение:

$$p^4 + q^4 — p^3q — pq^3 = (p^4 — p^3q) + (q^4 — pq^3)$$

Теперь выделим общий множитель в каждом из слагаемых:

$$= p^3(p — q) + q^3(q — p)$$

Во втором слагаемом вынесем минус:

$$= p^3(p — q) — q^3(p — q)$$

Теперь выделим общий множитель $(p — q)$:

$$= (p — q)(p^3 — q^3)$$

Используем формулу разности кубов:

$$p^3 — q^3 = (p — q)(p^2 + pq + q^2)$$

Подставляем это в выражение:

$$= (p — q)^2(p^2 + pq + q^2)$$

Так как $p$ и $q$ — положительные числа, то $(p — q)^2 \geq 0$ и $p^2 + pq + q^2 > 0$, следовательно:

$$(p — q)^2(p^2 + pq + q^2) \geq 0$$

Это значит, что:

$$p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3$$

что и требовалось доказать.