ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 128 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Пусть $a$ и $b$ — положительные числа, и $a < b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

б) Пусть $a$ и $b$ — отрицательные числа, и $a < b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

а) Если $a$ и $b$ — положительные числа и $a < b$, тогда:
$b — a > 0$ и $ab > 0$;

$\frac{b — a}{ab} > 0$;

$\frac{b}{ab} — \frac{a}{ab} > 0$, значит $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$;

б) Если $a$ и $b$ — отрицательные числа и $a < b$, тогда:
$a — b < 0$ и $ab > 0$;

$\frac{a — b}{ab} < 0$;

$\frac{b}{ab} — \frac{a}{ab} > 0$

$\frac{a}{ab} — \frac{b}{ab} < 0$, значит $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$.

а) Пусть $a$ и $b$ — положительные числа, и $a < b$. Необходимо сравнить $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

Из условия $a < b$, вычитаем $a$ из обеих сторон неравенства:

$$b — a > 0$$

Так как $b > a$ и оба числа положительные, разность $b — a$ обязательно больше нуля.

Далее, умножим обе части неравенства $b — a > 0$ на положительное число $ab$ (так как $a > 0$ и $b > 0$, произведение $ab$ также положительно):

$$(b — a) \cdot \frac{1}{ab} > 0$$

Это утверждение очевидно, так как обе части произведения положительные, значит, вся дробь $\frac{b — a}{ab}$ положительна.

Теперь преобразуем дробь $\frac{b — a}{ab}$:

$$\frac{b}{ab} — \frac{a}{ab} = \frac{1}{a} — \frac{1}{b}$$

Мы видим, что разность $\frac{b}{ab} — \frac{a}{ab}$ преобразуется в разницу двух дробей $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

Так как дробь $\frac{b — a}{ab} > 0$, то и разность $\frac{1}{a} — \frac{1}{b} > 0$, что в свою очередь означает, что:

$$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$

Таким образом, для положительных чисел $a$ и $b$, при $a < b$, выполняется неравенство $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

б) Пусть $a$ и $b$ — отрицательные числа, и $a < b$. Необходимо сравнить $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

Из условия $a < b$, вычитаем $b$ из обеих сторон:

$$a — b < 0$$

Так как $a < b$, разность $a — b$ обязательно меньше нуля.

Умножаем обе части неравенства $a — b < 0$ на положительное число $ab$ (так как $a < 0$ и $b < 0$, произведение $ab$ положительно):

$$(a — b) \cdot \frac{1}{ab} < 0$$

Это утверждение очевидно, так как обе части произведения отрицательны, значит, дробь $\frac{a — b}{ab}$ отрицательна.

Преобразуем дробь $\frac{a — b}{ab}$:

$$\frac{a}{ab} — \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} — \frac{1}{a}$$

Мы видим, что разность $\frac{a}{ab} — \frac{b}{ab}$ преобразуется в разницу двух дробей $\frac{1}{b}$ и $\frac{1}{a}$.

Так как дробь $\frac{a — b}{ab} < 0$, то и разность $\frac{1}{b} — \frac{1}{a} < 0$, что в свою очередь означает, что:

$$\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$$

Таким образом, для отрицательных чисел $a$ и $b$, при $a < b$, выполняется неравенство $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$.