ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 127 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$:

а) $a^2 + b^2 \geq 2ab$;

б) $(a + b)^2 \geq ab$;

в) $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$;

г) $a(a — b) \geq b(a — b)$;

д) $\frac{a^2 + 1}{2} \geq a$;

е) $\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$.

Квадрат любого числа не отрицателен;

а) $a^2 + b^2 \geq 2ab$:

$$(a+b{)}^2\ge 0;$$

$$(a + b)^2 \geq 0;$$ $$a^2-2ab+b^2\ge 0\mathrm{\mid }+2ab;$$

$$a^2 — 2ab + b^2 \geq 0 \quad | + 2ab;$$ $$a^2 + b^2 \geq 2ab;$$

б) $(a + b) \cdot b \geq ab$:

$$b^2\ge 0\mathrm{\mid }+ab;$$

$$b^2 \geq 0 \quad | + ab;$$ $$ab+b^2\ge ab;$$

$$ab + b^2 \geq ab;$$ $$(a + b) \cdot b \geq ab;$$

в) $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$:

$$(a-b{)}^2\ge 0;$$

$$(a — b)^2 \geq 0;$$ $$a^2-2ab+b^2\ge 0\mathrm{\mid }+4ab;$$

$$a^2 — 2ab + b^2 \geq 0 \quad | + 4ab;$$ $$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab;$$

г) $a(a — b) \geq b(a — b)$:

$$(a-b{)}^2\ge 0;$$

$$(a — b)^2 \geq 0;$$ $$a^2-2ab+b^2\ge 0\mathrm{\mid }+ab;$$

$$a^2 — 2ab + b^2 \geq 0 \quad | + ab;$$ $$a^2-ab\ge ab-b^2;$$

$$a^2 — ab \geq ab — b^2;$$ $$a(a — b) \geq b(a — b);$$

д) $\frac{a^2 + 1}{2} \geq a$:

$$(a-1{)}^2\ge 0;$$

$$(a — 1)^2 \geq 0;$$ $$a^2-2a+1\ge 0\mathrm{\mid }+2a;$$

$$a^2 — 2a + 1 \geq 0 \quad | + 2a;$$ $$a^2+1\ge 2a\mathrm{\mid }:2;$$

$$a^2 + 1 \geq 2a \quad | : 2;$$ $$\frac{a^2 + 1}{2} \geq a;$$

е) $\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$:

$$-(a-1{)}^2\le 0\text{и}(a^2+1)\ge 0;$$

$$-(a — 1)^2 \leq 0 \quad \text{и} \quad (a^2 + 1) \geq 0;$$ $$-\frac{(a-1{)}^2}{a^2+1}\le 0\mathrm{\mid }:2;$$

$$-\frac{(a — 1)^2}{a^2 + 1} \leq 0 \quad | : 2;$$ $$\frac{2a-a^2-1}{2\cdot (a^2+1)}\le 0;$$

$$\frac{2a — a^2 — 1}{2 \cdot (a^2 + 1)} \leq 0;$$ $$\frac{2a}{2\cdot (a^2+1)}-\frac{a^2+1}{2\cdot (a^2+1)}\le 0;$$

$$\frac{2a}{2 \cdot (a^2 + 1)} — \frac{a^2 + 1}{2 \cdot (a^2 + 1)} \leq 0;$$ $$\frac{a}{a^2+1}-\frac{1}{2}\le 0;$$

$$\frac{a}{a^2 + 1} — \frac{1}{2} \leq 0;$$ $$\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}.$$

а) $a^2 + b^2 \geq 2ab$:

Рассмотрим выражение $a^2 + b^2$. Мы можем представить его как разность квадратов:

$$a^2 + b^2 — 2ab = (a — b)^2.$$

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то $(a — b)^2 \geq 0$. Таким образом:

$$a^2 + b^2 — 2ab \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 \geq 2ab.$$

б) $(a + b) \cdot b \geq ab$:

Рассмотрим выражение $(a + b) \cdot b$. Раскроем скобки:

$$(a + b) \cdot b = ab + b^2.$$

Так как $b^2 \geq 0$, то:

$$ab + b^2 \geq ab.$$

Следовательно:

$$(a + b) \cdot b \geq ab.$$

в) $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$:

Рассмотрим выражение $a^2 + 2ab + b^2$. Это выражение можно записать как полный квадрат:

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.$$

Так как $(a + b)^2 \geq 0$, то:

$$a^2 + 2ab + b^2 \geq 0.$$

Теперь сравним это с $4ab$. Мы можем заметить, что $(a + b)^2$ всегда больше либо равно $4ab$, так как:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad \text{и} \quad 4ab = 2ab + 2ab.$$

Это неравенство будет выполняться, потому что $a^2 + b^2 \geq 0$, и всегда будет добавлено больше или равно $2ab$:

$$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab.$$

г) $a(a — b) \geq b(a — b)$:

Рассмотрим выражение $a(a — b) — b(a — b)$. Вынесем общий множитель $(a — b)$:

$$a(a — b) — b(a — b) = (a — b)(a — b).$$

Так как $(a — b)^2 \geq 0$, то:

$$(a — b)(a — b) \geq 0.$$

Следовательно:

$$a(a — b) \geq b(a — b).$$

д) $\frac{a^2 + 1}{2} \geq a$:

Рассмотрим выражение $\frac{a^2 + 1}{2} — a$. Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{a^2 + 1}{2} — a = \frac{a^2 + 1 — 2a}{2} = \frac{a^2 — 2a + 1}{2}.$$

Заметили, что $a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2$, и поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то:

$$\frac{(a — 1)^2}{2} \geq 0.$$

Таким образом:

$$\frac{a^2 + 1}{2} \geq a.$$

е) $\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$:

Рассмотрим выражение $\frac{a}{a^2 + 1} — \frac{1}{2}$. Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{a}{a^2 + 1} — \frac{1}{2} = \frac{2a — (a^2 + 1)}{2(a^2 + 1)} = \frac{2a — a^2 — 1}{2(a^2 + 1)}.$$

Нам нужно доказать, что эта дробь меньше либо равна нулю. Числитель равен $2a — a^2 — 1$, и он будет меньше либо равен нулю, если $a$ лежит в пределах от $-1$ до $1$. Следовательно:

$$\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}.$$