ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 126 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите свойства неравенств:

а) если $a \leq b$ и $b \leq c$, то $a \leq c$;

б) если $a > b$, то $a + c > b + c$;

в) если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$;

г) если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$;

а) Если $a \leq b$ и $b \leq c$, то $a \leq c$:
$a — c = a — b + b — c = (a — b) + (b — c);$
$a — b \leq 0$ и $b — c \leq 0$, тогда $a — c \leq 0;$
Значит $a \leq c;$

б) Если $a > b$, то $a + c > b + c$:
$(a + c) — (b + c) = a + c — b — c = a — b;$
$a — b > 0$, тогда $(a + c) — (b + c) > 0;$
Значит $a + c > b + c;$

в) Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$:
$ac — bc = c(a — b);$
$a — b > 0$ и $c > 0$, тогда $ac — bc > 0;$
Значит $ac > bc;$

г) Если $a \leq b$ и $c < 0$, то $ac \geq bc$:
$ac — bc = c(a — b);$
$a — b \leq 0$ и $c < 0$, тогда $ac — bc \geq 0;$
Значит $ac \geq bc.$

а) Если $a \leq b$ и $b \leq c$, то $a \leq c$:
Рассмотрим выражение $a — c$. Мы можем записать его как сумму двух разностей:

$$a — c = (a — b) + (b — c).$$

Из первого неравенства $a \leq b$ следует, что $a — b \leq 0$, так как $a$ меньше или равно $b$.
Из второго неравенства $b \leq c$ следует, что $b — c \leq 0$, так как $b$ меньше или равно $c$.
Таким образом, сумма двух неотрицательных чисел $a — b$ и $b — c$ будет тоже неотрицательной, то есть $a — c \leq 0$, что даёт:

$$a \leq c.$$

б) Если $a > b$, то $a + c > b + c$:
Рассмотрим выражение $(a + c) — (b + c)$. Разложим его на два слагаемых:

$$(a + c) — (b + c) = a — b.$$

Так как $a > b$, то $a — b > 0$. Следовательно:

$$(a + c) — (b + c) > 0.$$

Таким образом, $a + c > b + c$, так как если разница между $a$ и $b$ положительна, то та же разница между $a + c$ и $b + c$ тоже будет положительна.

в) Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$:
Рассмотрим выражение $ac — bc$. Мы можем вынести общий множитель $c$ за скобки:

$$ac — bc = c(a — b).$$

Так как $a > b$, то $a — b > 0$. Кроме того, нам дано, что $c > 0$. Умножив два положительных числа $c$ и $a — b$, мы получим положительное число:

$$ac — bc > 0.$$

Таким образом, $ac > bc$, поскольку произведение двух положительных чисел всегда положительно.

г) Если $a \leq b$ и $c < 0$, то $ac \geq bc$:
Рассмотрим выражение $ac — bc$. Мы можем вынести общий множитель $c$ за скобки:

$$ac — bc = c(a — b).$$

Из условия $a \leq b$ следует, что $a — b \leq 0$. Кроме того, $c < 0$, и умножение двух чисел с разными знаками всегда даёт отрицательное число или ноль. Таким образом, выражение $ac — bc$ будет не больше нуля, то есть:

$$ac — bc \leq 0,$$

что даёт:

$$ac \geq bc.$$