ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 121 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Для функций у = f(x) и у = g(x) найдите множество значений аргумента, на котором обе функции отрицательны; одна из них отрицательна, а другая положительна; обе положительны. Проиллюстрируйте своё решение с помощью графиков.

а) $f(x)=2x+1$, $g(x)=x-3$

б) $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$, $g(x)=\frac{1}{2}x-2$

а) Функции $f(x)=2x+1$ и $g(x)=x-3$:

1)Обе функции отрицательны:

$x<-0.5$ или $x\in (-\mathrm{\infty };-0.5)$;

2)Функция $f(x)$ положительна, а функция $g(x)$ отрицательна:

$-0.5<x<3$ или $x\in (-0.5;3)$;

3)Функция $g(x)$ положительна, а функция $f(x)$ отрицательна:

Таких значений аргумента не существует;

4)Обе функции положительны:

$x>3$ или $x\in (3;+\mathrm{\infty })$;

$\mathrm{5)y}=2x+1$ — уравнение прямой:

$\mathrm{6)y}=x-3$ — уравнение прямой:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 \\ \hline y & -1 & 0 \\ \hline \end{array}$

7)График функций:

б) Функции $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$ и $g(x)=\frac{1}{2}x-2$:

1)Обе функции отрицательны:

$$\{\begin{array}{ll}-0.5x+1<0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}-0.5x<-1\\ x>2\end{array}\\ 0.5x-2<0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{}x\mathrm{>\; 2}\\ x<4\end{array}\end{array}$$

$2<x<4$ или $x\in (2;4)$;

2)Функция $f(x)$ положительна, а функция $g(x)$ отрицательна:

$$\{\begin{array}{ll}-0.5x+1>0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}-0.5x>-1\\ x<2\end{array}\\ 0.5x-2<0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{}x<2\\ x<4\end{array}\end{array}$$

$x<2$ или $x\in (-\mathrm{\infty };2)$;

3)Функция $g(x)$ положительна, а функция $f(x)$ отрицательна:

$$\{\begin{array}{ll}-0.5x+1<0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}-0.5x<-1\\ x>2\end{array}\\ 0.5x-2>0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{}x<2\\ x>4\end{array}\end{array}$$

$x>4$ или $x\in (4;+\mathrm{\infty })$;

4)Обе функции положительны:

$$\{\begin{array}{ll}-0.5x+1>0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}-0.5x>-1\\ x<2\end{array}\\ 0.5x-2>0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{}x<2\\ x>4\end{array}\end{array}$$

Таких значений аргумента не существует;

$\mathrm{5)y}=-0.5x+1$ — уравнение прямой:

$\mathrm{6)y}=0.5x-2$ — уравнение прямой:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & -2 & -1 \\ \hline \end{array}$

)График функций:

а) Функции $f(x)=2x+1$ и $g(x)=x-3$:

Обе функции отрицательны:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\{\begin{array}{l}2x+1<0\\ x-3<0\end{array}$$

Решим первое неравенство $2x+1<0$:

Прибавим 1 к обеим частям:

$$2x<-1$$

Разделим обе части на 2:

$$x<-\mathrm{0.5.}$$

Решим второе неравенство $x-3<0$:

$$x<3.$$

Объединяем оба неравенства:

$$x<-0.5\text{или}x\in (-\mathrm{\infty };-0.5)\mathrm{.}$$

Функция $f(x)$ положительна, а функция $g(x)$ отрицательна:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\{\begin{array}{l}2x+1>0\\ x-3<0\end{array}$$

Решим первое неравенство $2x+1>0$:

Прибавим 1 к обеим частям:

$$2x>-1$$

Разделим обе части на 2:

$$x>-\mathrm{0.5.}$$

Решим второе неравенство $x-3<0$:

$$x<3.$$

Объединяем оба неравенства:

$$-0.5<x<3\text{или}x\in (-0.5;3)\mathrm{.}$$

Функция $g(x)$ положительна, а функция $f(x)$ отрицательна:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\{\begin{array}{l}2x+1<0\\ x-3>0\end{array}$$

Решим первое неравенство $2x+1<0$:

Прибавим 1 к обеим частям:

$$2x<-1$$

Разделим обе части на 2:

$$x<-\mathrm{0.5.}$$

Решим второе неравенство $x-3>0$:

$$x>3.$$

Так как $x$ не может быть одновременно меньше $-0.5$ и больше 3, решений данной системы не существует.

Обе функции положительны:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\{\begin{array}{l}2x+1>0\\ x-3>0\end{array}$$

Решим первое неравенство $2x+1>0$:

Прибавим 1 к обеим частям:

$$2x>-1$$

Разделим обе части на 2:

$$x>-\mathrm{0.5.}$$

Решим второе неравенство $x-3>0$:

$$x>3.$$

Объединяем оба неравенства:

$$x>3\text{или}x\in (3;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

$y=2x+1$ — уравнение прямой:

Для $x=0$:

$$y=2\cdot 0+1=1.$$

Для $x=1$:

$$y=2\cdot 1+1=3.$$

Таблица значений:

$y=x-3$ — уравнение прямой:

Для $x=2$:

$$y=2-3=-1.$$

Для $x=3$:

$$y=3-3=0.$$

Таблица значений:

$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 2& 3\\ y& -1& 0\end{array}}$

График функций:

б) Функции $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$ и $g(x)=\frac{1}{2}x-2$:

Обе функции отрицательны:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x+1<0\\ \frac{1}{2}x-2<0\end{array}$$

Решим первое неравенство $-\frac{1}{2}x+1<0$:

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$-\frac{1}{2}x<-1.$$

Умножаем обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется):

$$x>2.$$

Решим второе неравенство $\frac{1}{2}x-2<0$:

Прибавим 2 к обеим частям:

$$\frac{1}{2}x<2.$$

Умножаем обе части на 2:

$$x<4.$$

Объединяем оба неравенства:

$$2<x<4\text{или}x\in (2;4)\mathrm{.}$$

Функция $f(x)$ положительна, а функция $g(x)$ отрицательна:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x+1>0\\ \frac{1}{2}x-2<0\end{array}$$

Решим первое неравенство $-\frac{1}{2}x+1>0$:

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$-\frac{1}{2}x>-1.$$

Умножаем обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется):

$$x<2.$$

Решим второе неравенство $\frac{1}{2}x-2<0$:

Прибавим 2 к обеим частям:

$$\frac{1}{2}x<2.$$

Умножаем обе части на 2:

$$x<4.$$

Объединяем оба неравенства:

$$x<2\text{или}x\in (-\mathrm{\infty };2)\mathrm{.}$$

Функция $g(x)$ положительна, а функция $f(x)$ отрицательна:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x+1<0\\ \frac{1}{2}x-2>0\end{array}$$

Решим первое неравенство $-\frac{1}{2}x+1<0$:

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$-\frac{1}{2}x<-1.$$

Умножаем обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется):

$$x>2.$$

Решим второе неравенство $\frac{1}{2}x-2>0$:

Прибавим 2 к обеим частям:

$$\frac{1}{2}x>2.$$

Умножаем обе части на 2:

$$x>4.$$

Объединяем оба неравенства:

$$x>4\text{или}x\in (4;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Обе функции положительны:
Рассмотрим систему неравенств:

$$\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x+1>0\\ \frac{1}{2}x-2>0\end{array}$$

Решим первое неравенство $-\frac{1}{2}x+1>0$:

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$-\frac{1}{2}x>-1.$$

Умножаем обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется):

$$x<2.$$

Решим второе неравенство $\frac{1}{2}x-2>0$:

Прибавим 2 к обеим частям:

$$\frac{1}{2}x>2.$$

Умножаем обе части на 2:

$$x>4.$$

Так как нет таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам, решений данной системы не существует.

$y=-0.5x+1$ — уравнение прямой:

Для $x=0$:

$$y=-0.5\cdot 0+1=1.$$

Для $x=2$:

$$y=-0.5\cdot 2+1=0.$$

Таблица значений:

$y=0.5x-2$ — уравнение прямой:

Для $x=0$:

$$y=0.5\cdot 0-2=-2.$$

Для $x=2$:

$$y=0.5\cdot 2-2=-1.$$

Таблица значений:

$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 0& 2\\ y& -2& -1\end{array}}$

График функций: