ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 117 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему неравенств (116—117).

a)

$$\begin{cases} -2 < x < 7 \\ \frac{x}{5} > 0 \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} -15 \leqslant z \leqslant -1 \\ \frac{1-z}{3} \geqslant 1 \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} -2 \leqslant y-1 \leqslant 0 \\ 1-2y \leqslant 3-2y \end{cases}$$

a)

$$\begin{cases} x < 7 \\ \frac{x}{5} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 7 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \{ x \mid 0 < x < 7 \} \text{ или } x \in (0; 7);$$

б)

$$\begin{cases} -15 \leqslant 3z \leqslant -1 \\ \frac{1-z}{2} \geqslant 1 \end{cases} \quad | : 3, \quad | \cdot 2:$$ $$\begin{cases} -5 \leqslant z \leqslant -\frac{1}{3} \\ 1-z \geqslant 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5 \leqslant z \leqslant -\frac{1}{3} \\ -z \geqslant 1 \end{cases} \Rightarrow \{ z \mid -5 \leqslant z \leqslant -1 \} \text{ или } z \in [-5; -1];$$

в)

$$\begin{cases} -2 \leqslant y-1 \leqslant 0 \\ 1-2y < 3-2y \end{cases} \quad | +1, \quad | +2y:$$ $$\begin{cases} -1 \leqslant y \leqslant 1 \\ 1 < 3 \end{cases} \Rightarrow \{ y \mid -1 \leqslant y \leqslant 1 \} \text{ или } y \in [-1; 1];$$

а)Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} x < 7 \\ \frac{x}{5} > 0 \end{cases}$$

Первое неравенство $x < 7$ уже даёт нам ограничение на $x$, что $x$ должно быть меньше 7.

Второе неравенство $\frac{x}{5} > 0$ эквивалентно $x > 0$, так как если мы умножим обе стороны на 5, знак неравенства не изменится, и $x$ должно быть больше нуля.

Теперь объединяем оба неравенства:

$$x < 7 \quad \text{и} \quad x > 0.$$

Таким образом, мы получаем, что $x$ должно принадлежать интервалу $(0; 7)$. Ответ: $x \in (0; 7)$.

б)Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} -15 \leqslant 3z \leqslant -1 \\ \frac{1-z}{2} \geqslant 1 \end{cases}$$

Начнем с первого неравенства $-15 \leqslant 3z \leqslant -1$. Разделим его на три части, чтобы решить для $z$:

$$-15 \leqslant 3z \quad \Rightarrow \quad z \geqslant -5,$$ $$3z \leqslant -1 \quad \Rightarrow \quad z \leqslant -\frac{1}{3}.$$

Таким образом, $z$ должно принадлежать интервалу $[-5; -\frac{1}{3}]$.

Переходим ко второму неравенству $\frac{1-z}{2} \geqslant 1$. Умножим обе стороны на 2:

$$1 — z \geqslant 2 \quad \Rightarrow \quad -z \geqslant 1 \quad \Rightarrow \quad z \leqslant -1.$$

Теперь объединяем оба условия: $z \in [-5; -\frac{1}{3}]$ и $z \leqslant -1$, что даёт $z \in [-5; -1]$.

Ответ: $z \in [-5; -1]$.

в)Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} -2 \leqslant y-1 \leqslant 0 \\ 1-2y < 3-2y \end{cases}$$

Начнем с первого неравенства $-2 \leqslant y-1 \leqslant 0$. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$$-2 + 1 \leqslant y \leqslant 0 + 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leqslant y \leqslant 1.$$

Таким образом, $y \in [-1; 1]$.

Переходим ко второму неравенству $1 — 2y < 3 — 2y$. Упростим его:

$$1 — 2y < 3 — 2y \quad \Rightarrow \quad 1 < 3,$$

что является очевидно верным и не накладывает дополнительных ограничений на $y$.

Таким образом, первое неравенство даёт нам решение $y \in [-1; 1]$, а второе неравенство не накладывает дополнительных условий.

Ответ: $y \in [-1; 1]$.