ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 115 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите двойное неравенство:

a) $-8 < 2x — 4 < 1$;

б) $-1 \leqslant \frac{3x — 4}{5} \leqslant 1$;

в) $-5 \leqslant \frac{1 — x}{2} < 0$;

г) $0 \leqslant \frac{1 — 2x}{3} < 3$;

д) $2 < \frac{x}{3} — \frac{1}{2} \leqslant 10$;

е) $-3 < 1 — \frac{2 — x}{3} < 3$.

a)

$$-8<2x-4<1\mathrm{\mid }+4;$$

$$-8 < 2x — 4 < 1 \quad | +4;$$ $$-4<2x<5\mathrm{\mid }:2;$$

$$-4 < 2x < 5 \quad | : 2;$$ $$-2 < x < 2.5;$$

б)

$$-1⩽\frac{3x-4}{5}⩽1\mathrm{\mid }\cdot 5;$$

$$-1 \leqslant \frac{3x — 4}{5} \leqslant 1 \quad | \cdot 5;$$ $$-5⩽3x-4⩽5\mathrm{\mid }+4;$$

$$-5 \leqslant 3x — 4 \leqslant 5 \quad | +4;$$ $$-1⩽3x⩽9\mathrm{\mid }:3;$$

$$-1 \leqslant 3x \leqslant 9 \quad | : 3;$$ $$-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 3;$$

в)

$$-5⩽\frac{1-x}{2}⩽0\mathrm{\mid }\cdot 2;$$

$$-5 \leqslant \frac{1 — x}{2} \leqslant 0 \quad | \cdot 2;$$ $$-10⩽1-x⩽0\mathrm{\mid }-1;$$

$$-10 \leqslant 1 — x \leqslant 0 \quad | -1;$$ $$-11⩽-x⩽-1\mathrm{\mid }\cdot (-1);$$

$$-11 \leqslant -x \leqslant -1 \quad | \cdot (-1);$$ $$1 \leqslant x \leqslant 11;$$

г)

$$0⩽\frac{1-2x}{3}<3\mathrm{\mid }\cdot 3;$$

$$0 \leqslant \frac{1 — 2x}{3} < 3 \quad | \cdot 3;$$ $$0⩽1-2x⩽9\mathrm{\mid }-1;$$

$$0 \leqslant 1 — 2x \leqslant 9 \quad | -1;$$ $$-1⩽-2x⩽8\mathrm{\mid }\cdot (-1);$$

$$-1 \leqslant -2x \leqslant 8 \quad | \cdot (-1);$$ $$-8⩽2x⩽1\mathrm{\mid }:2;$$

$$-8 \leqslant 2x \leqslant 1 \quad | : 2;$$ $$-4 \leqslant x \leqslant 0.5;$$

д)

$$2x < \frac{x}{3} — \frac{1}{2} \leqslant 10:$$ $$\begin{cases} 2x < \frac{x}{3} — \frac{1}{2} & | \cdot 6 \\ \frac{x}{3} — \frac{1}{2} \leqslant 10 & | \cdot 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 12x < 2x — 3 \\ 2x — 3 \leqslant 60 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 12x — 2x \leqslant -3 \\ 2x \leqslant 63 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10x < -3 \\ x \leqslant \frac{63}{2} \end{cases}$$ $$x < -0.3;$$

е)

$$-3<1-\frac{2-x}{3}<3\mathrm{\mid }\cdot 3;$$

$$-3 < 1 — \frac{2 — x}{3} < 3 \quad | \cdot 3;$$ $$-9<3-(2-x)<9\mathrm{\mid }-1;$$

$$-9 < 3 — (2 — x) < 9 \quad | -1;$$ $$-9<1+x<9\mathrm{\mid }-1;$$

$$-9 < 1 + x < 9 \quad | -1;$$ $$-10 < x < 8;$$$\boxed{\text{Текст переписан точно без изменений.}}$

a) Рассмотрим неравенство:

$$-8 < 2x — 4 < 1$$

Шаг 1: Решение левой части неравенства

Первая часть неравенства: $-8 < 2x — 4$.

Добавляем 4 с обеих сторон:

$$-8+4<2x-4+4$$

$$-8 + 4 < 2x — 4 + 4$$ $$-4 < 2x$$

Теперь делим обе части на 2:

$$\frac{-4}{2}<\frac{2x}{2}$$

$$\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2}$$ $$-2 < x$$

Шаг 2: Решение правой части неравенства

Вторая часть неравенства: $2x — 4 < 1$.

Добавляем 4 с обеих сторон:

$$2x-4+4<1+4$$

$$2x — 4 + 4 < 1 + 4$$ $$2x < 5$$

Теперь делим обе части на 2:

$$\frac{2x}{2}<\frac{5}{2}$$

$$\frac{2x}{2} < \frac{5}{2}$$ $$x < 2.5$$

Шаг 3: Совмещение решений

Теперь у нас есть два неравенства:

$$-2 < x \quad \text{и} \quad x < 2.5$$

Окончательное решение:

$$-2 < x < 2.5$$

Ответ: $x \in (-2; 2.5)$.

б) Рассмотрим неравенство:

$$-1 \leqslant \frac{3x — 4}{5} \leqslant 1$$

Шаг 1: Умножение на 5

Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от дроби:

$$5\cdot (-1)⩽5\cdot \left(\frac{3x-4}{5}\right)⩽5\cdot 1$$

$$5 \cdot \left( -1 \right) \leqslant 5 \cdot \left( \frac{3x — 4}{5} \right) \leqslant 5 \cdot 1$$ $$-5 \leqslant 3x — 4 \leqslant 5$$

Шаг 2: Добавление 4

Теперь добавим 4 с обеих сторон:

$$-5+4⩽3x-4+4⩽5+4$$

$$-5 + 4 \leqslant 3x — 4 + 4 \leqslant 5 + 4$$ $$-1 \leqslant 3x \leqslant 9$$

Шаг 3: Деление на 3

Теперь делим обе части на 3:

$$\frac{-1}{3}⩽\frac{3x}{3}⩽\frac{9}{3}$$

$$\frac{-1}{3} \leqslant \frac{3x}{3} \leqslant \frac{9}{3}$$ $$-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 3$$

Ответ: $x \in \left[ -\frac{1}{3}; 3 \right]$.

в) Рассмотрим неравенство:

$$-5 \leqslant \frac{1 — x}{2} \leqslant 0$$

Шаг 1: Умножение на 2

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2\cdot (-5)⩽2\cdot \left(\frac{1-x}{2}\right)⩽2\cdot 0$$

$$2 \cdot \left( -5 \right) \leqslant 2 \cdot \left( \frac{1 — x}{2} \right) \leqslant 2 \cdot 0$$ $$-10 \leqslant 1 — x \leqslant 0$$

Шаг 2: Вычитание 1

Теперь вычитаем 1 с обеих сторон:

$$-10-1⩽1-x-1⩽0-1$$

$$-10 — 1 \leqslant 1 — x — 1 \leqslant 0 — 1$$ $$-11 \leqslant -x \leqslant -1$$

Шаг 3: Умножение на $-1$

Теперь умножим обе части на $-1$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$$11 \geqslant x \geqslant 1$$

Ответ: $x \in [1; 11]$.

г) Рассмотрим неравенство:

$$0 \leqslant \frac{1 — 2x}{3} < 3$$

Шаг 1: Умножение на 3

Умножим обе части неравенства на 3:

$$3\cdot 0⩽3\cdot \frac{1-2x}{3}<3\cdot 3$$

$$3 \cdot 0 \leqslant 3 \cdot \frac{1 — 2x}{3} < 3 \cdot 3$$ $$0 \leqslant 1 — 2x < 9$$

Шаг 2: Вычитание 1

Теперь вычитаем 1 с обеих сторон:

$$0-1⩽1-2x-1<9-1$$

$$0 — 1 \leqslant 1 — 2x — 1 < 9 — 1$$ $$-1 \leqslant -2x < 8$$

Шаг 3: Умножение на $-1$

Теперь умножим обе части на $-1$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$$1 \geqslant 2x > -8$$

Шаг 4: Деление на 2

Теперь делим обе части на 2:

$$\frac{1}{2} \geqslant x > -4$$

Ответ: $-4 < x \leqslant \frac{1}{2}$.

д) Рассмотрим неравенство:

$$2x < \frac{x}{3} — \frac{1}{2} \leqslant 10$$

Шаг 1: Умножение на 6

Умножим обе части неравенства на 6:

$$6\cdot 2x<6\cdot (\frac{x}{3}-\frac{1}{2})⩽6\cdot 10$$

$$6 \cdot 2x < 6 \cdot \left( \frac{x}{3} — \frac{1}{2} \right) \leqslant 6 \cdot 10$$ $$12x < 2x — 3 \leqslant 60$$

Шаг 2: Переносим все слагаемые на одну сторону

Для первого неравенства:

$$12x — 2x < -3$$ $$10x < -3$$

Теперь делим на 10:

$$x < -\frac{3}{10}$$

Для второго неравенства:

$$2x — 3 \leqslant 60$$

Добавляем 3 с обеих сторон:

$$2x \leqslant 63$$

Теперь делим на 2:

$$x \leqslant \frac{63}{2}$$

Ответ: $x \in \left( -\infty; -\frac{3}{10} \right)$.

е) Рассмотрим неравенство:

$$-3 < 1 — \frac{2 — x}{3} < 3$$

Шаг 1: Умножение на 3

Умножим обе части неравенства на 3:

$$3\cdot (-3)<3\cdot (1-\frac{2-x}{3})<3\cdot 3$$

$$3 \cdot \left( -3 \right) < 3 \cdot \left( 1 — \frac{2 — x}{3} \right) < 3 \cdot 3$$ $$-9 < 3 — (2 — x) < 9$$

Шаг 2: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки:

$$-9 < 3 — 2 + x < 9$$

Упрощаем:

$$-9 < 1 + x < 9$$

Шаг 3: Вычитание 1

Теперь вычитаем 1 с обеих сторон:

$$-9-1<x<9-1$$

$$-9 — 1 < x < 9 — 1$$ $$-10 < x < 8$$

Ответ: $x \in (-10; 8)$.