ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 102 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все целые отрицательные значения $c$, при которых квадратный трехчлен $5x^2-10x-c$ можно разложить на множители.

$5x^2-10x-c=0:$
$D={10}^2+4\cdot 5\cdot c=100+20c;$

1) Квадратный трехчлен можно разложить на множители, если у него есть по крайней мере один корень, то есть $D\ge 0:$
$100+20c\ge 0;$
$20c\ge -100;$
$c\ge -\frac{100}{20};$
$c\ge -5;$

2) Целые отрицательные значения: $-5;-4;-3;-2;-1.$

$5x^2-10x-c=0:$

Начнем с того, что для того чтобы квадратный трехчлен $5x^2-10x-c=0$ можно было разложить на множители, у него должен быть хотя бы один корень. Для этого вычислим дискриминант уравнения. Формула для дискриминанта $D$ для уравнения вида $a{x}^2+bx+c=0$ такова:

$$D=b^2-4ac$$

Заменим значения коэффициентов $a=5$, $b=-10$, и $c=-c$ в эту формулу:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 5\cdot (-c)=100+20c$$

Чтобы у квадратного трехчлена был хотя бы один корень, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, то есть:

$$D\ge 0\Rightarrow 100+20c\ge 0$$

Переносим $20c$ на левую сторону:

$$20c\ge -100$$

Разделим обе части неравенства на 20:

$$c\ge -\frac{100}{20}\Rightarrow c\ge -5$$

Таким образом, квадратный трехчлен можно разложить на множители при $c\ge -5$.

Теперь найдем все целые отрицательные значения $c$, которые удовлетворяют этому неравенству. Положительные целые значения $c$ не подходят, так как нас интересуют только отрицательные значения. Целые отрицательные значения $c$, которые больше или равны $-5$, это:

$$c=-5,-4,-3,-2,-1$$

Ответ: Целые отрицательные значения $c$, при которых квадратный трехчлен можно разложить на множители: $-5,-4,-3,-2,-1$.