ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 101 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все целые положительные значения $c$, при которых квадратный трехчлен $2x^2+8x+c$ можно разложить на множители.

$2x^2+8x+c=0$:
$D=8^2-4\cdot 2\cdot c=64-8c;$

1) Квадратный трехчлен можно разложить на множители, если у него есть по крайней мере один корень, то есть $D\ge 0$:
$64-8c\ge 0;$
$-8c\ge -64;$
$8c\le 64;$

$$c\le \frac{64}{8};$$

2) Целые положительные значения: $1;2;3;4;5;6;7;8.$

$2x^2+8x+c=0$:

Для того чтобы квадратный трехчлен можно было разложить на множители, необходимо, чтобы у него был хотя бы один корень. Для этого вычислим дискриминант уравнения. Дискриминант для уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

Подставляем значения коэффициентов из уравнения $2x^2+8x+c=0$, где $a=2$, $b=8$, и $c=c$:

$$D=8^2-4\cdot 2\cdot c=64-8c$$

Чтобы у квадратного трехчлена был хотя бы один корень, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, то есть:

$$D\ge 0$$

Подставляем выражение для $D$:

$$64-8c\ge 0$$

Переносим $8c$ на правую сторону:

$$64\ge 8c$$

Разделим обе стороны неравенства на 8:

$$\frac{64}{8}\ge c$$

$$$$$$8\ge c$$

Таким образом, для того чтобы квадратный трехчлен можно было разложить на множители, необходимо, чтобы $c\le 8$.

Теперь найдем все целые положительные значения $c$, которые удовлетворяют этому неравенству. Положительные целые числа, которые меньше или равны 8, это:

$$c=1,2,3,4,5,6,7,8$$

Ответ: Целые положительные значения $c$, при которых квадратный трехчлен можно разложить на множители: $1,2,3,4,5,6,7,8$.