ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 526 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) ${\displaystyle \frac{x^4-x^2-2x-1}{x^4-3x^2+1}}={\displaystyle \frac{x^4-(x^2+2x+1)}{(x^4-2x^2+1)-x^2}}={\displaystyle \frac{x^4-(x+1{)}^2}{(x^2-1{)}^2-x^2}}=$

$\dfrac{x^4 — x^2 — 2x — 1}{x^4 — 3x^2 + 1} = \dfrac{x^4 — (x^2 + 2x + 1)}{(x^4 — 2x^2 + 1) — x^2} = \dfrac{x^4 — (x+1)^2}{(x^2-1)^2 — x^2} = \dfrac{(x^2-x-1)(x^2+x+1)}{(x^2-1-x)(x^2-1+x)} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + x — 1}$;

б) ${\displaystyle \frac{x^4-y^4}{x^4+2x^{3}y+2x^2{y}^2+2x{y}^3+y^4}}={\displaystyle \frac{x^4-y^4}{(x^4+2x^2{y}^2+y^4)+(2x^{3}y+2x{y}^3)}}=$

${\displaystyle \frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2{)}^2+2xy(x^2+y^2)}}={\displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2+2xy)}}=$

$\dfrac{x^4 — y^4}{x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4} = \dfrac{x^4 — y^4}{(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + (2x^3y + 2xy^3)} = \dfrac{x^4 — y^4}{(x^2 + y^2)^2 + 2xy(x^2 + y^2)} = \dfrac{(x^2 — y^2)(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + 2xy)} = \dfrac{x^2 — y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \dfrac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2} = \dfrac{x-y}{x+y}$.

а) Рассмотрим выражение:

$$\dfrac{x^4 — x^2 — 2x — 1}{x^4 — 3x^2 + 1}$$

Шаг 1: В числителе выражения $x^4 — x^2 — 2x — 1$ можем выделить квадрат разности в виде $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$, что позволяет преобразовать его следующим образом:

$$x^4 — x^2 — 2x — 1 = x^4 — (x^2 + 2x + 1)$$

Шаг 2: Теперь перейдем к знаменателю $x^4 — 3x^2 + 1$. Мы можем также выразить его в виде разности квадратов:

$$x^4 — 3x^2 + 1 = (x^2 — 1)^2 — x^2$$

Шаг 3: После подстановки этих выражений получаем:

$$\dfrac{x^4 — (x^2 + 2x + 1)}{(x^4 — 2x^2 + 1) — x^2} = \dfrac{x^4 — (x + 1)^2}{(x^2 — 1)^2 — x^2}$$

Шаг 4: Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель раскладывается как произведение двух полиномов:

$$x^4 — (x + 1)^2 = (x^2 — x — 1)(x^2 + x + 1)$$

В знаменателе:

$$(x^2 — 1)^2 — x^2 = (x^2 — 1 — x)(x^2 — 1 + x)$$

Шаг 5: Подставляем полученные результаты:

$$\dfrac{(x^2 — x — 1)(x^2 + x + 1)}{(x^2 — 1 — x)(x^2 — 1 + x)} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + x — 1}$$

б) Рассмотрим выражение:

$$\dfrac{x^4 — y^4}{x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4}$$

Шаг 1: Начнем с числителя. Мы видим разность квадратов:

$$x^4 — y^4 = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2)$$

Шаг 2: Теперь рассмотрим знаменатель. Мы видим, что это полное выражение разложения квадрата суммы:

$$x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 + 2xy(x^2 + y^2)$$

Шаг 3: Подставляем в исходное выражение и упрощаем:

$$\dfrac{x^4 — y^4}{(x^2 + y^2)^2 + 2xy(x^2 + y^2)} = \dfrac{(x^2 — y^2)(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + 2xy)}$$

Шаг 4: Упростим выражение, выделив общий множитель $(x^2 + y^2)$ в числителе и знаменателе:

$$= \dfrac{x^2 — y^2}{x^2 + 2xy + y^2}$$

Шаг 5: Теперь распишем разность квадратов в числителе:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)$$

Шаг 6: Подставляем это в исходное выражение:

$$\dfrac{(x — y)(x + y)}{(x + y)^2}$$

Шаг 7: Упростим выражение:

$$= \dfrac{x — y}{x + y}$$