ГДЗ по Алгебре 9 Класс Повторите Математику (По курсу 5-8 классов) Номер 59 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите какое-нибудь рациональное число, заключённое между числами $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$ (запишите ход своих рассуждений).
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания

Найти число:
$0 < \sqrt{5} < x < \sqrt{6}$;
$5 < x^2 < 6$, $x \in Q$;
$500 < 100x^2 < 600$;
$100x^2 = 529 = 23^2$;
$10x = 23$, $x = 2,3$;

Ответ: $2,3$.

Найти число:

Сначала требуется найти такое рациональное число $x$, которое находится строго между двумя иррациональными числами $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$. То есть должно выполняться условие
$0 < \sqrt{5} < x < \sqrt{6}$.

Чтобы работать с неравенством, избавимся от квадратных корней возведением в квадрат. Так как все числа положительные, возведение в квадрат сохраняет знак неравенства. Получаем условие:
$5 < x^2 < 6$, при этом дополнительно указываем, что $x \in Q$, то есть $x$ должно быть рациональным числом.

Теперь для удобства умножим всё неравенство на $100$, чтобы работать с целыми числами:
$500 < 100x^2 < 600$.

Здесь видно, что требуется подобрать такое значение $100x^2$, которое будет находиться между числами $500$ и $600$ и при этом будет точным квадратом целого числа, так как тогда получится рациональное $x$.

Заметим, что число $529$ попадает в данный интервал:
$500 < 529 < 600$.

Кроме того, $529$ является точным квадратом, так как $529 = 23^2$.

Следовательно, имеем:
$100x^2 = 529$.

Разделим обе части равенства на $100$:
$x^2 = \frac{529}{100}$.

Теперь извлечём квадратный корень:
$x = \frac{23}{10} = 2,3$.

Проверим выполнение исходного условия:
$\sqrt{5} \approx 2,236…$,
$\sqrt{6} \approx 2,449…$,
и действительно, $2,236 < 2,3 < 2,449$.

Следовательно, найденное число действительно заключено между $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$.

Ответ: $2,3$.