ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 705 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, через сколько шагов Ахиллес догонит черепаху, вычислив сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1000; 100; 10; 1; 1/10; 1/100; 1/1000; 1/10 000; … .

1) Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:
$1000; 100; 10; 1; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}; \frac{1}{1000}; \frac{1}{10 \, 000}; \ldots$
$b_1 = 1000$ и $q = \frac{100}{1000} = 0,1$;

2) Сумма данной прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{1000}{1 — 0,1} = \frac{1000}{0,9} = \frac{10 \, 000}{9} = 1111 \frac{1}{9}$;

Ответ: через 1112 шагов.

1) Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии $q$. В данном случае прогрессия выглядит так:
$1000; 100; 10; 1; \frac{1}{10}; \frac{1}{100}; \frac{1}{1000}; \frac{1}{10 \, 000}; \ldots$

Первый член прогрессии обозначается как $b_1$, здесь $b_1 = 1000$. Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, нужно разделить второй член на первый:
$q = \frac{100}{1000} = 0,1$.

Так как $|q| = 0,1 < 1$, эта геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, то есть члены прогрессии становятся всё меньше и стремятся к нулю при увеличении номера члена.

2) Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
$S = \frac{b_1}{1 — q}$.

Подставим известные значения:
$S = \frac{1000}{1 — 0,1}$ — сначала вычтем знаменатель: $1 — 0,1 = 0,9$.
Далее получаем: $S = \frac{1000}{0,9}$. Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножаем числитель и знаменатель на 10:
$S = \frac{1000 \cdot 10}{0,9 \cdot 10} = \frac{10 \, 000}{9}$.
В виде смешанной дроби: $S = 1111 \frac{1}{9}$.

Это значение показывает, что сумма всех членов бесконечно убывающей прогрессии, начиная с $1000$ и умножаясь на $0,1$, равна $1111 \frac{1}{9}$.

Ответ: через 1112 шагов.