ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 654 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дан треугольник, периметр которого равен 64 см. Середины сторон этого треугольника являются вершинами второго треугольника, середины сторон второго треугольника являются вершинами третьего треугольника и т. д. (рис. 4.13).
а) Найдите периметр восьмого треугольника.
б) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Стороны каждого треугольника начиная со второго являются средними линиями предыдущего, значит их периметр равен половине периметра предыдущего треугольника;

Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

$b_1 = 64$ и $q = \frac{1}{2}$;

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^6 \cdot 2^{1-n} = 2^{7-n}$;

а) Периметр восьмого треугольника:

$b_8 = 2^{7-8} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$ (см);

б) Номер треугольника, периметр которого равен 4 см:

$b_n = 2^{7-n} = 4$;

$2^{7-n} = 2^2$;

$7 — n = 2$;

$n = 7 — 2 = 5$;

Ответ: 5.

Даны геометрическая прогрессия, в которой $b_1 = 64$ и $q = \frac{1}{2}$.

Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Подставим известные значения $b_1 = 64$ и $q = \frac{1}{2}$ в эту формулу:

$$b_n = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$

Чтобы упростить выражение, представим 64 как степень числа 2:

$$b_n = 2^6 \cdot \left(2^{-1}\right)^{n-1} = 2^6 \cdot 2^{-(n-1)} = 2^{6-(n-1)} = 2^{7-n}.$$

Таким образом, общая формула для $n$-го члена прогрессии:

$$b_n = 2^{7-n}.$$

а) Периметр восьмого треугольника. Для нахождения периметра восьмого треугольника, подставляем $n = 8$ в формулу для $b_n$:

$$b_8 = 2^{7-8} = 2^{-1} = \frac{1}{2}.$$

Ответ: периметр восьмого треугольника равен $\frac{1}{2}$ см.

б) Номер треугольника, периметр которого равен 4 см. Для того чтобы найти номер треугольника, периметр которого равен 4 см, подставим $b_n = 4$ в формулу для $b_n$:

$$b_n = 2^{7-n} = 4.$$

Теперь решим это уравнение:

$$2^{7-n} = 4.$$

Преобразуем 4 в степень числа 2:

$$2^{7-n} = 2^2.$$

Теперь, приравниваем показатели степеней числа 2:

$$7 — n = 2.$$

Решаем для $n$:

$$n = 7 — 2 = 5.$$

Ответ: номер треугольника, периметр которого равен 4 см, равен 5.