ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 5 Номер 2 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие вы знаете статистические характеристики? Какие из них описывают разброс данных?

Известные мне статистические характеристики:

1) Мода — наиболее часто встречающееся значение в ряду данных;

2) Медиана — значение, расположенное в середине ранжированного ряда или среднее арифметическое двух таких значений (если ряд содержит четное число элементов);

3) Среднее арифметическое ряда — отношение суммы всех элементов ряда к их количеству;

4) Размах ряда — разность между наибольшим и наименьшим значениями;

5) Отклонение от среднего арифметического — разность среднего арифметического значения и значения данного элемента ряда;

6) Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения;

7) Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии;

Разброс данных описывают четыре последних характеристики;

Известные мне статистические характеристики:

1) Мода — наиболее часто встречающееся значение в ряду данных. Если в выборке какое-то число встречается чаще других, именно оно является модой. Например, в наборе значений $2, 3, 3, 5, 7, 3, 8$ мода равна $3$, так как это значение встречается три раза, что чаще, чем все остальные. Мода показывает центр сгущения данных, когда большинство элементов концентрируются вокруг одного числа.

2) Медиана — значение, расположенное в середине ранжированного ряда, то есть упорядоченного по возрастанию или убыванию. Если количество элементов нечётное, медианой будет центральный элемент. Например, в ряду $1, 4, 6, 8, 9$ медиана равна $6$. Если количество элементов чётное, медиана вычисляется как среднее арифметическое двух средних значений. Например, для ряда $2, 5, 7, 10$ медиана равна $\frac{5+7}{2} = 6$. Медиана используется для описания «центра» распределения, особенно когда данные содержат выбросы, так как она устойчива к слишком большим или малым значениям.

3) Среднее арифметическое ряда — это отношение суммы всех элементов ряда к их количеству. Формула:
$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$, где $x_i$ — элементы ряда, $n$ — количество элементов. Например, для ряда $2, 4, 6, 8$ среднее арифметическое равно $\frac{2+4+6+8}{4} = \frac{20}{4} = 5$. Среднее арифметическое отражает общий уровень данных, но чувствительно к выбросам.

4) Размах ряда — разность между наибольшим и наименьшим значениями выборки. Формула:
$R = x_{\max} — x_{\min}$. Например, для ряда $3, 5, 7, 10$ размах равен $10 — 3 = 7$. Размах характеризует общий диапазон изменения данных, но не учитывает внутреннего распределения значений.

5) Отклонение от среднего арифметического — разность между значением конкретного элемента и средним арифметическим ряда. Формула:
$d_i = x_i — \overline{x}$. Например, для ряда $2, 4, 6$ среднее арифметическое равно $4$. Тогда отклонение для $x_1 = 2$ равно $2 — 4 = -2$, для $x_2 = 4$ равно $0$, а для $x_3 = 6$ равно $2$. Сумма отклонений всегда равна нулю: $\sum d_i = 0$.

6) Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения. Формула:
$D = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i — \overline{x})^2}{n}$. Например, для ряда $2, 4, 6$, где $\overline{x} = 4$, вычисляем: $(2-4)^2 = 4$, $(4-4)^2 = 0$, $(6-4)^2 = 4$. Сумма квадратов отклонений равна $8$. Делим на количество элементов: $\frac{8}{3} \approx 2.67$. Дисперсия показывает степень рассеяния данных относительно среднего.

7) Стандартное отклонение — это положительный квадратный корень из дисперсии. Формула:
$\sigma = \sqrt{D}$. В предыдущем примере, где дисперсия равна $\frac{8}{3}$, стандартное отклонение равно $\sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63$. Оно измеряется в тех же единицах, что и сами данные, и наглядно показывает, насколько в среднем элементы ряда отклоняются от среднего значения.

Разброс данных описывают четыре последних характеристики: размах, отклонение от среднего арифметического, дисперсия и стандартное отклонение. Эти показатели дают полное представление о том, насколько данные сконцентрированы около среднего значения или, наоборот, сильно разбросаны.