ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 3 Номер 7 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На примере уравнения $\frac{x^2}{x-4} — 1 = \frac{16}{x-4}$ расскажите, как решают дробные уравнения.

$\frac{x^2}{x-4} — 1 = \frac{16}{x-4}$;

1) Умножим обе части выражения на общий знаменатель $(x — 4)$:

$$x^2 — (x — 4) = 16;$$

2) Решим полученное выражение:

$$x^2-x+4-16=0;$$

$$x^2 — x + 4 — 16 = 0;$$ $$x^2-x-12=0;$$

$$x^2 — x — 12 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49,\text{ тогда: }$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;$$

3) Проверим, есть ли среди найденных корней те, при которых выражение не имеет смысла:

$$x — 4 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 4;$$

Ответ: $x = -3$.

$\frac{x^2}{x-4} — 1 = \frac{16}{x-4}$;

Начнем с того, что у нас есть дробное уравнение. Для упрощения умножим обе части уравнения на общий знаменатель, которым является $x — 4$. Это позволит избавиться от дробей. Умножим обе части уравнения на $x — 4$:

$$(x — 4) \cdot \left( \frac{x^2}{x-4} — 1 \right) = (x — 4) \cdot \frac{16}{x-4}.$$

При умножении чисел в дробях числитель умножается на общий знаменатель, а знаменатель сокращается. Получаем:

$$x^2 — (x — 4) = 16.$$

Далее упростим выражение в левой части. Раскроем скобки:

$$x^2 — (x — 4) = x^2 — x + 4.$$

Теперь у нас есть выражение:

$$x^2 — x + 4 = 16.$$

Переносим 16 в левую часть уравнения:

$$x^2 — x + 4 — 16 = 0.$$

Упрощаем:

$$x^2 — x — 12 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим его дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Найдем их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{1-7}{2}=-3,$$

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 7}{2} = -3,$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4.$$

Однако, так как мы умножали на $x — 4$, то значение $x = 4$ делает выражение в исходном уравнении неопределенным. Проверим это. Если $x = 4$, то в знаменателе появляется ноль, что невозможно. Таким образом, $x = 4$ исключается из решений.

Ответ: $x = -3$.