ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 3 Номер 6 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие приёмы решения целых уравнений, степень которых выше второй, вам известны? Решите уравнение:

а) $x^3 + 2x^2 = 0$;
б) $x^4 — 6x^2 + 8 = 0$.

Приёмы решения целых уравнений, степень которых больше второй:

1) Разложение на множители (используется в примере а);

2) Введение новой переменной (используется в примере б);

а) $x^3 + 2x^2 = 0$;
$x^2(x + 2) = 0$, тогда:
$x^2 = 0$, отсюда $x = 0$;
$x + 2 = 0$, отсюда $x = -2$;
Ответ: $-2; 0$.

б) $x^4 — 6x^2 + 8 = 0$;
Пусть $y = x^2$, тогда:
$y^2 — 6y + 8 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$;
Вернем замену:
$x_1 = \pm\sqrt{2}$ и $x_2 = \pm\sqrt{4} = \pm 2$;
Ответ: $-\sqrt{2}; -2; \sqrt{2}; 2$.

1) Разложение на множители:

Для уравнения $x^3 + 2x^2 = 0$, применим разложение на множители. Начнем с того, что факторизуем левую часть уравнения, выделяя общий множитель $x^2$:

$$x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2).$$

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и это выражение равно нулю:

$$x^2(x + 2) = 0.$$

Из этого уравнения следует, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим два случая:

$x^2 = 0$, отсюда $x = 0$.

$x + 2 = 0$, отсюда $x = -2$.

Таким образом, решения уравнения: $x = 0$ и $x = -2$.

Ответ: $x = -2; 0$.

2) Введение новой переменной:

Теперь рассмотрим уравнение $x^4 — 6x^2 + 8 = 0$. Мы видим, что это уравнение имеет степень 4, и его можно упростить, введя новую переменную. Пусть $y = x^2$. Подставим это в уравнение:

$$y^2 — 6y + 8 = 0.$$

Теперь у нас получилось квадратное уравнение по $y$. Для решения этого уравнения найдем его дискриминант $D$:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4.$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4.$$

Теперь, вернув замену $y = x^2$, мы получаем два уравнения:

$$x^2 = 2 \quad \text{и} \quad x^2 = 4.$$

Из первого уравнения $x^2 = 2$ получаем $x = \pm \sqrt{2}$, а из второго уравнения $x^2 = 4$ получаем $x = \pm 2$.

Ответ: $x = -\sqrt{2}; -2; \sqrt{2}; 2$.