ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 3 Номер 10 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение $\frac{1}{x} = 4 — x^2$.

$\frac{1}{x} = 4 — x^2$;

$y = \frac{1}{x}$ — уравнение гиперболы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0,5 & 0,5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0,5 & -1 & -2 & 2 & 1 & 0,5 \\ \hline \end{array}$$

$y = 4 — x^2$ — уравнение параболы:
$x_0 = 0$ и $y_0 = 4$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 3 & 0 & -5 \\ \hline \end{array}$$

3) Графики функций:

Графики функций пересекаются в двух точках;

Ответ: 2 решения.

$\frac{1}{x} = 4 — x^2$;

1) Для уравнения $y = \frac{1}{x}$ — уравнение гиперболы, подставляем несколько значений для $x$ и находим соответствующие значения $y$. Вычисления для выбранных значений $x$:

Для $x = -2$, $y = \frac{1}{-2} = -0,5$;
Для $x = -1$, $y = \frac{1}{-1} = -1$;
Для $x = -0,5$, $y = \frac{1}{-0,5} = -2$;
Для $x = 0,5$, $y = \frac{1}{0,5} = 2$;
Для $x = 1$, $y = \frac{1}{1} = 1$;
Для $x = 2$, $y = \frac{1}{2} = 0,5$.

Таким образом, таблица значений для уравнения гиперболы будет следующей:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0,5 & 0,5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0,5 & -1 & -2 & 2 & 1 & 0,5 \\ \hline \end{array}$$

2) Для уравнения $y = 4 — x^2$ — уравнение параболы, подставляем несколько значений для $x$ и находим соответствующие значения $y$. Вычисления для выбранных значений $x$:

Для $x = -3$, $y = 4 — (-3)^2 = 4 — 9 = -5$;
Для $x = -2$, $y = 4 — (-2)^2 = 4 — 4 = 0$;
Для $x = -1$, $y = 4 — (-1)^2 = 4 — 1 = 3$;
Для $x = 1$, $y = 4 — (1)^2 = 4 — 1 = 3$;
Для $x = 2$, $y = 4 — (2)^2 = 4 — 4 = 0$;
Для $x = 3$, $y = 4 — (3)^2 = 4 — 9 = -5$.

Таким образом, таблица значений для уравнения параболы будет следующей:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 3 & 0 & -5 \\ \hline \end{array}$$

3) Теперь, чтобы найти количество решений, нужно изучить графики обеих функций. График функции $y = \frac{1}{x}$ представляет собой гиперболу, которая симметрична относительно обеих осей, а график функции $y = 4 — x^2$ представляет собой параболу, направленную вниз с вершиной в точке $(0, 4)$.

Графики этих функций пересекаются в двух точках, что подтверждается решением системы уравнений и графическим представлением. Эти точки соответствуют значениям $x$, при которых обе функции имеют одинаковые значения $y$.

Ответ: 2 решения.