ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 2 Номер 9 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дана функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

а) Каково направление ветвей параболы, являющейся графиком данной функции, если $a > 0$? Если $a < 0$?

б) Как вычислить координаты вершины параболы?

в) Как записать уравнение оси симметрии параболы?

Функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$;

а) Направление ветвей параболы:

При $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ ветви направлены вниз;

б) Вершина параболы находится в точке с координатами:
$x = -\frac{b}{2a}$ и $y = \frac{4ac — b^2}{4a}$;

в) Осью симметрии является вертикальная прямая: $x = -\frac{b}{2a}$.

Функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$, задаёт параболу на координатной плоскости.

а) Направление ветвей параболы

Коэффициент $a$ определяет, в какую сторону «смотрит» парабола:

— если $a > 0$, то квадратичный член $ax^2$ положителен при больших по модулю значениях $x$, и значит, график уходит вверх с обеих сторон. Ветви параболы направлены вверх;

— если $a < 0$, то квадратичный член $ax^2$ отрицателен при больших по модулю значениях $x$, и график уходит вниз. Ветви параболы направлены вниз;

Таким образом:

• при $a > 0$: парабола вогнутая вверх, минимум достигается в вершине;
• при $a < 0$: парабола вогнутая вниз, максимум достигается в вершине.

б) Координаты вершины параболы

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину. Чтобы найти координаты вершины, используют формулы, выведенные из полного квадрата.

Координата вершины по оси $x$:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Это значение получается из производной функции или из формулы преобразования в канонический вид. Оно соответствует абсциссе точки, где функция достигает своего наименьшего (или наибольшего) значения в зависимости от знака $a$.

Значение функции в вершине — это координата $y$:

$$y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c$$

Упрощая:

$$y = a \cdot \frac{b^2}{4a^2} — \frac{b^2}{2a} + c = \frac{ab^2 — 2ab^2 + 4a^2c}{4a^2} = \frac{4ac — b^2}{4a}$$

Итак, координаты вершины:
$x = -\frac{b}{2a}$,
$y = \frac{4ac — b^2}{4a}$.

в) Ось симметрии параболы

Парабола всегда симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину. Эту прямую называют осью симметрии параболы. Её уравнение — это просто значение координаты $x$, соответствующей вершине:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Это означает, что если точка $(x_1, y_1)$ лежит на графике параболы, то и точка $(x_2, y_1)$, симметричная ей относительно оси $x = -\frac{b}{2a}$, также лежит на графике. Ось симметрии делит параболу на две зеркально одинаковые части.