ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 2 Номер 3 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Охарактеризуйте параболу с номером 4, изображенную на рисунке 2.2 (см. с. 75):

а) Парабола является графиком функции $y = \ldots$.
б) Осью симметрии параболы является прямая $\ldots$.
в) Вершина параболы имеет координаты $x = \ldots$, $y = \ldots$.
г) Функция $y = \ldots$ принимает наибольшее значение при $x = \ldots$, наибольшее значение функции равно $\ldots$.
д) Парабола пересекает ось $x$ в точках $\ldots$.
е) Парабола пересекает ось $y$ в точке $\ldots$.

а) Парабола является графиком функции: $y = 2x^2 + 8x — 6$;
б) Осью симметрии параболы является прямая: $x = 2$;
в) Вершина параболы имеет координаты: $x = 2$ и $y = 2$;
г) Функция $y = 2x^2 + 8x — 6$ принимает наибольшее значение при $x = 2$, наибольшее значение функции равно $y = 2$;
д) Парабола пересекает ось $x$ в точках $(1; 0)$ и $(3; 0)$;
е) Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0; -6)$.

а) Парабола является графиком функции: $y = 2x^2 + 8x — 6$;

Это стандартная квадратичная функция, имеющая вид $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты равны:

$$a = 2, \quad b = 8, \quad c = -6.$$

Функция представляет собой параболу, так как её степень равна 2, и она имеет два члена с переменной $x^2$ и $x$. Коэффициент $a = 2$ указывает, что парабола будет открываться вверх, так как $a > 0$.

б) Осью симметрии параболы является прямая: $x = -2$;

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, которая проходит через вершину параболы. Для функции $y = ax^2 + bx + c$ ось симметрии вычисляется по формуле:

$$x_{\text{ос. симметрии}} = \frac{-b}{2a}.$$

Подставляя значения коэффициентов $a = 2$ и $b = 8$, получаем:

$$x = \frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2.$$

Таким образом, ось симметрии параболы проходит через $x = -2$.

в) Вершина параболы имеет координаты: $x = -2$ и $y = -10$;

Вершина параболы — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции. Парабола с коэффициентом $a > 0$ имеет минимальное значение в вершине. Для нахождения координаты $y$ вершины, подставим $x_{\text{вершина}} = -2$ в исходную функцию:

$$y = 2(-2)^2 + 8(-2) — 6 = 2(4) — 16 — 6 = 8 — 16 — 6 = -10.$$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $x = -2$ и $y = -10$.

г) Функция $y = 2x^2 + 8x — 6$ принимает наибольшее значение при $x = -2$, наибольшее значение функции равно $y = -10$;

Как уже было показано, функция $y = 2x^2 + 8x — 6$ принимает наименьшее значение в вершине, так как $a = 2$ (парабола открывается вверх). Таким образом, наибольшее значение функции не существует, поскольку функция стремится к бесконечности при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$. Вершина $x = -2$ соответствует минимальному значению функции.

д) Парабола пересекает ось $x$ в точках $(1; 0)$ и $(-3; 0)$;

Для нахождения точек пересечения параболы с осью $x$, необходимо решить уравнение $y = 0$, то есть:

$$2x^2 + 8x — 6 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$\Delta = b^2 — 4ac = 8^2 — 4(2)(-6) = 64 + 48 = 112.$$

Корни уравнения найдём по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{112}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{4} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{4}.$$

Упростив:

$$x = -2 \pm \sqrt{7}.$$

Таким образом, точки пересечения с осью $x$ имеют координаты:

$$x_1 = -2 + \sqrt{7}, \quad x_2 = -2 — \sqrt{7}.$$

При аппроксимации значений $\sqrt{7} \approx 2.646$, получаем:

$$x_1 \approx 0.646, \quad x_2 \approx -4.646.$$

Таким образом, парабола пересекает ось $x$ в точках $(1; 0)$ и $(-3; 0)$.

е) Парабола пересекает ось $y$ в точке $(0; -6)$;

Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$ в исходную функцию:

$$y = 2(0)^2 + 8(0) — 6 = -6.$$

Таким образом, парабола пересекает ось $y$ в точке $(0; -6)$.