ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 1 Номер 8 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие неравенства называют равносильными? Сформулируйте правила, позволяющие переходить от одного неравенства к другому, ему равносильному. Объясните каждый шаг в решении неравенства:

$2 — 5x < 7$;
$-5x < 5$;
$x > -1$.

1) Равносильными называются неравенства, у которых множества решений совпадают;

2) Для перехода от одного неравенства к другому, ему равносильному, следует выполнить одно или несколько из следующих действий:
— Перенести слагаемые из одной части неравенства в другую, изменив знак каждого слагаемого на противоположный;
— Умножить (или разделить) обе части неравенства на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения;
— Умножить (или разделить) обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный;

3) Разберем решение неравенства $2 — 5x < 7$:
Перенесем число $2$ из левой части неравенства в правую:
$-5x < 7 — 2$;
$-5x < 5$;
Разделим обе части неравенства на число $(-5)$:
$\frac{-5x}{-5} > \frac{5}{-5}$;
$x > -1$;

1) Равносильными называются такие неравенства, которые имеют абсолютно одинаковое множество решений. Это означает, что любые преобразования, выполняемые над неравенством, не должны изменять его смысл, а только преобразовывать форму выражения, оставляя при этом те же самые значения переменной, при которых неравенство остаётся верным.

2) Чтобы получить из данного неравенства новое, равносильное ему, необходимо следовать ряду строго определённых правил. Ни одно из этих правил не должно изменить множество решений:

— Если одно или несколько слагаемых находятся в одной части неравенства и нам нужно перенести их в другую часть, то мы меняем знак каждого переносимого слагаемого на противоположный. Это сохраняет смысл неравенства.

— Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменяется. Поскольку положительное число не меняет порядка чисел, множество решений сохраняется.

— Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. Это ключевой момент: поскольку умножение на отрицательное число «переворачивает» ось чисел, отношение «меньше» превращается в «больше» и наоборот. В этом случае без смены знака множество решений исказится.

3) Рассмотрим пошагово неравенство $2 — 5x < 7$:

Первоначально записано неравенство:
$2 — 5x < 7$.
Здесь левая часть состоит из двух слагаемых: число $2$ и выражение $-5x$. Правая часть — это число $7$.

Первое действие: перенесём число $2$ из левой части в правую, при этом меняем его знак на противоположный:
$-5x < 7 — 2$.
Это допустимое действие по правилу о переносе слагаемых.

Выполним вычитание справа:
$-5x < 5$.
Теперь у нас простое линейное неравенство, где переменная умножена на отрицательное число.

Следующее действие — разделим обе части неравенства на $-5$. Поскольку $-5 < 0$, мы обязательно меняем знак неравенства на противоположный. Был знак «меньше» $<$, становится «больше» $>$:
$\frac{-5x}{-5} > \frac{5}{-5}$.

Упрощаем обе части:
$x > -1$.

Итак, множество решений исходного неравенства совпадает с множеством решений неравенства $x > -1$, что подтверждает их равносильность.