ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 1 Номер 7 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие уравнения называют равносильными? Объясните, почему равносильны уравнения:

$3x + 7 = 1$ и $3x = -6$;
$\frac{1}{2}x — 3 = \frac{1}{4}x$ и $2x — 12 = x$.

1) Равносильными называются уравнения, у которых множества решений совпадают;

2) Преобразуем уравнение:
$3x + 7 = 1$:
$3x = 1 — 7$;
$3x = -6$;
Уравнение $3x + 7 = 1$ переходит в уравнение $3x = -6$, поэтому они имеют одинаковые решения, то есть они равносильны;

3) Преобразуем уравнение:
$\frac{1}{2}x — 3 = \frac{1}{4}x \quad | \cdot 4$;
$2x — 12 = x$;
Уравнение $\frac{1}{2}x — 3 = \frac{1}{4}x$ переходит в уравнение $2x — 12 = x$, поэтому они имеют одинаковые решения, то есть они равносильны.

1) Уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают, то есть каждое решение одного уравнения будет решением другого, и наоборот. Это означает, что два уравнения, хоть и записаны по-разному, приводят к одному и тому же результату при решении. При преобразовании одного уравнения в другое важно не изменить корней, иначе уравнения уже не будут равносильными.

2) Рассмотрим первое уравнение $3x + 7 = 1$.
Цель — выразить $x$, выполняя допустимые преобразования, сохраняющие равносильность.

Вычтем 7 из обеих частей уравнения:
$3x + 7 — 7 = 1 — 7$, отсюда
$3x = -6$.

Таким образом, уравнение $3x + 7 = 1$ равносильно уравнению $3x = -6$, так как в результате преобразования мы получили выражение, которое имеет то же самое решение.

Проверим:
Решение уравнения $3x = -6$ — это
$x = -\frac{6}{3} = -2$.

Подставим это значение в исходное уравнение:
$3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1$ — верно.
Следовательно, уравнения действительно равносильны.

3) Рассмотрим второе уравнение:
$\frac{1}{2}x — 3 = \frac{1}{4}x$.

Чтобы избавиться от дробей, домножим обе части уравнения на 4 — это допустимое преобразование, не изменяющее решений:

$4 \cdot \left( \frac{1}{2}x — 3 \right) = 4 \cdot \frac{1}{4}x$,
получим:
$2x — 12 = x$.

Таким образом, уравнение $\frac{1}{2}x — 3 = \frac{1}{4}x$ равносильно уравнению $2x — 12 = x$, так как преобразование проведено корректно и не изменяет корней.

Проверим:
$2x — 12 = x$
$2x — x = 12$
$x = 12$.

Подставим это значение в исходное уравнение:
$\frac{1}{2} \cdot 12 — 3 = \frac{1}{4} \cdot 12$,
$6 — 3 = 3$,
$3 = 3$ — верно.
Следовательно, оба уравнения действительно равносильны.