ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 1 Номер 5 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие свойства неравенств вы знаете? Запишите их с помощью букв и дайте словесные формулировки. Какие из этих свойств аналогичны свойствам равенств? Какие различаются и в чём состоят эти различия?

1) Свойство транзитивности: если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$;
— Если число $a$ меньше $b$, а число $b$ меньше $c$, то $a$ также меньше $c$;
— Аналогично свойству равенств: если $a = b$ и $b = c$, то $a = c$;

2) Если $a < b$ и $c$ — любое число, то $a + c < b + c$;
— К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число;
— Аналогично свойству равенств: если $a = b$, то $a + c = b + c$;

3) Если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$;
— Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения;
— Аналогично свойству равенств: если $a = b$, то $ac = bc$;

4) Если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$;
— Обе части неравенства можно разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный;
— Аналогично свойству равенств: если $a = b$, то $ac = bc$;

5) Если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$;
— Если сложить почленно неравенства одного знака, то получим неравенство того же знака;
— Аналогично свойству равенств: если $a = b$ и $c = d$, то $a + c = b + d$;

6) Если $a < b$ и $c < d$ и $a, b, c, d$ — положительные числа, то $ac < bd$;
— Неравенства одного знака с положительными членами можно почленно перемножать;
— Аналогично свойству равенств: если $a = b$ и $c = d$, то $ac = bd$;

Свойства неравенств 3, 4 и 6 отличаются от аналогичных им свойств равенств тем, что для свойств равенств не имеет значения положительные или отрицательные числа, участвующие в преобразованиях.

1) Свойство транзитивности: если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$;
— Это означает, что если одно число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое число обязательно меньше третьего.
— Пример: если $3 < 5$ и $5 < 8$, то $3 < 8$.
— Данное свойство аналогично транзитивности равенства: если $a = b$ и $b = c$, то $a = c$.
— Это логическая цепочка, основанная на порядке чисел по числовой прямой.

2) Если $a < b$ и $c$ — любое число, то $a + c < b + c$;
— К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число без изменения смысла неравенства.
— Пример: если $4 < 7$, то $4 + 2 < 7 + 2$, то есть $6 < 9$.
— Это свойство работает для всех значений $c$: положительных, нулевых и отрицательных.
— Свойство аналогично правилу сложения в равенствах: если $a = b$, то $a + c = b + c$.

3) Если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$;
— Это правило применяется при умножении обеих сторон неравенства на одно и то же положительное число.
— Пример: $2 < 3$, умножаем на $4 > 0$, получаем $8 < 12$.
— Знак неравенства при этом сохраняется.
— Для равенства: $a = b$ означает $ac = bc$ при любом $c$.

4) Если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$;
— При умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
— Пример: $2 < 5$, умножаем на $-1$, получаем $-2 > -5$.
— Это правило важно при решении неравенств, особенно линейных и рациональных.
— В случае равенства знак остается тем же: $a = b$ даёт $ac = bc$ независимо от знака $c$.

5) Если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$;
— Если мы почленно сложим два верных неравенства, результат также будет верным и сохранит знак неравенства.
— Пример: $1 < 3$ и $2 < 5$, складываем: $1 + 2 < 3 + 5$, то есть $3 < 8$.
— Это свойство применимо в доказательствах и преобразованиях систем неравенств.
— Аналогично для равенств: $a = b$, $c = d$ дают $a + c = b + d$.

6) Если $a < b$, $c < d$, и все четыре числа положительны, то $ac < bd$;
— Перемножение неравенств с одинаковыми знаками (оба меньше) допустимо только при условии, что все члены положительные.
— Пример: $2 < 4$ и $3 < 5$, тогда $2 \cdot 3 = 6 < 4 \cdot 5 = 20$.
— Это свойство не работает, если хотя бы одно из чисел отрицательное.
— В случае равенств: $a = b$, $c = d$ дают $ac = bd$ без дополнительных условий.

Свойства 3, 4 и 6 отличаются от свойств равенств тем, что в неравенствах критически важен знак множителя: при положительном он сохраняет знак, при отрицательном — меняет его. В равенствах же результат остаётся неизменным независимо от знака.