ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 1 Номер 3 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Что является «универсальным именем» для действительных чисел?

Выпишите пять цифр бесконечной десятичной дроби, представляющей число $\sqrt{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{5}{12}$. (При необходимости воспользуйтесь калькулятором.)

1) Универсальным для всех действительных чисел является имя:
«Бесконечная десятичная дробь»;

2) Эта дробь является периодической для всех рациональных чисел и непериодической для всех иррациональных чисел;

$\sqrt{3} = 1{,}7320508\ldots$

$\frac{1}{4} = 0{,}25 = 0{,}25(0) = 0{,}2500000\ldots$

$\frac{5}{12} = 0{,}41(6) = 0{,}4166666\ldots$

1) Универсальным именем для всех чисел, принадлежащих множеству действительных чисел ($\mathbb{R}$), является бесконечная десятичная дробь. Это означает, что каждое действительное число, независимо от того, рациональное оно или иррациональное, можно представить в виде бесконечной десятичной записи.

2) Если число рациональное, то его бесконечная десятичная дробь обязательно периодическая. Это значит, что начиная с некоторого места, в десятичной записи начинает бесконечно повторяться определённая последовательность цифр — период. Примеры таких дробей — $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$, $\frac{7}{11} = 0{,}636363\ldots$, и др.

Если же число иррациональное, то его бесконечная десятичная дробь непериодическая, то есть в ней нет и не может быть повторяющейся группы цифр. Такая запись бесконечна и непредсказуема в смысле структуры, несмотря на определённость каждого следующего знака. Примеры: $\pi = 3{,}1415926\ldots$, $\sqrt{2} = 1{,}4142135\ldots$.

Теперь выпишем пять первых цифр (после запятой) бесконечной десятичной дроби для заданных чисел:

$\sqrt{3}$ — это иррациональное число, его приближённое значение:
$\sqrt{3} = 1{,}7320508\ldots$,
выделим первые пять цифр после запятой:
$1{,}73205$ — это начало непериодической десятичной дроби.

$\frac{1}{4}$ — это рациональное число, его десятичная запись конечна:
$\frac{1}{4} = 0{,}25$,
чтобы представить его как бесконечную дробь, дописываем нули:
$\frac{1}{4} = 0{,}25000\ldots$,
пять цифр после запятой:
$0{,}25000$ — дробь периодическая (нулевой период).

$\frac{5}{12}$ — это рациональное число, у которого десятичная запись бесконечна и периодическая:
$\frac{5}{12} = 0{,}416666\ldots$,
здесь $6$ — повторяющийся символ (период),
пять цифр после запятой:
$0{,}41666$.