ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Знать Глава 1 Номер 1 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какие числа образуют множество действительных чисел? Приведите примеры чисел каждого вида.

Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ образуют:

1) Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$: $1;2;3;6;7$;

2) Множество целых чисел $\mathbb{Z}$: $-6;-2;0;4;9$;

3) Множество рациональных чисел: $-\mathrm{14,3};0;\frac{2}{3};\mathrm{5,}(64);13$;

4) Множество иррациональных чисел: $-\sqrt{2};\pi ;\sqrt{5};\sqrt{7}+2$.

Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ включает в себя все числа, которые могут быть представлены в виде конечной или бесконечной десятичной записи. Это множество состоит из двух непересекающихся подмножеств: рациональных и иррациональных чисел. Также внутри множества рациональных чисел выделяются более узкие классы: натуральные и целые числа.

1) Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ — это множество положительных целых чисел, используемых при счёте. Они начинаются с единицы и продолжаются бесконечно:
$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,\dots \}$

Приведённые примеры:
$1;2;3;6;7$ — все они являются положительными целыми числами, без дробной части и без нуля, следовательно, относятся к $\mathbb{N}$.

2) Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ включает в себя все натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль. То есть:
$\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$

Примеры:
$-6;-2;0;4;9$ — данные числа не содержат дробной части и принадлежат к множеству $\mathbb{Z}$, включая отрицательные, ноль и положительные значения.

3) Множество рациональных чисел — это множество всех чисел, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$. К ним относятся также конечные и периодические десятичные дроби.

Примеры:
$-\mathrm{14,3}=-\frac{143}{10}$,
$0=\frac{0}{1}$,
$\frac{2}{3}$ — уже в дробном виде,
$\mathrm{5,}(64)$ — периодическая десятичная дробь,
$13=\frac{13}{1}$ — целое число, тоже рациональное.

Все эти значения можно представить в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем, поэтому они принадлежат множеству рациональных чисел.

4) Множество иррациональных чисел — это числа, которые не могут быть выражены в виде дроби $\frac{m}{n}$, и их десятичная запись бесконечна и непериодична.

Примеры:
$-\sqrt{2}$ — корень из неидеального квадрата, отрицательное значение;
$\pi$ — трансцендентное число, не выражается дробью;
$\sqrt{5}$ — иррациональный корень;
$\sqrt{7}+2$ — сумма иррационального и рационального числа остаётся иррациональной.

Все приведённые примеры невозможно представить в виде конечной или периодической десятичной дроби, а значит, они принадлежат множеству иррациональных чисел.