ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 3 Номер 8 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 — 2y = 12 \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = -14 \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

а) Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 — 2y = 12 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $y$:

$$y = 2 — x.$$

Подставим $y = 2 — x$ во второе уравнение:

$$x^2 — 2(2 — x) — 12 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 4 + 2x — 12 = 0.$$

Приведем подобные:

$$x^2 + 2x — 16 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 16 = 4 + 64 = 68.$$

Тогда:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -1 \pm \sqrt{17}.$$

Найдем соответствующие значения $y$:

$$y = 2 — x.$$

Для $x_1 = -1 — \sqrt{17}$:

$$y_1 = 2 — (-1 — \sqrt{17}) = 2 + 1 + \sqrt{17} = 3 + \sqrt{17}.$$

Для $x_2 = -1 + \sqrt{17}$:

$$y_2 = 2 — (-1 + \sqrt{17}) = 2 + 1 — \sqrt{17} = 3 — \sqrt{17}.$$

Ответ: $x_1 = -1 — \sqrt{17}, \, y_1 = 3 + \sqrt{17}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{17}, \, y_2 = 3 — \sqrt{17}$.

б) Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = -14 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $y$:

$$y = 5 — x.$$

Подставим $y = 5 — x$ во второе уравнение:

$$x(5 — x) + 14 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$5x — x^2 + 14 = 0.$$

Умножим на $(-1)$:

$$x^2 — 5x — 14 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81.$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7.$$

Найдем соответствующие значения $y$:

$$y = 5 — x.$$

Для $x_1 = -2$:

$$y_1 = 5 — (-2) = 7.$$

Для $x_2 = 7$:

$$y_2 = 5 — 7 = -2.$$

Ответ: $(-2; 7)$ и $(7; -2)$.

в) Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$:

$$y = x — 4.$$

Подставим $y = x — 4$ в первое уравнение:

$$x^2 + (x — 4)^2 — 26 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + x^2 — 8x + 16 — 26 = 0.$$

Приведем подобные:

$$2x^2 — 8x — 10 = 0.$$

Умножим на $\frac{1}{2}$:

$$x^2 — 4x — 5 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36.$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5.$$

Найдем соответствующие значения $y$:

$$y = x — 4.$$

Для $x_1 = -1$:

$$y_1 = -1 — 4 = -5.$$

Для $x_2 = 5$:

$$y_2 = 5 — 4 = 1.$$

Ответ: $(-1; -5)$ и $(5; 1)$.

а) Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 — 2y = 12 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $y$:

$$y = 2 — x.$$

Подставим $y = 2 — x$ во второе уравнение:

$$x^2 — 2(2 — x) — 12 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 4 + 2x — 12 = 0.$$

Приведем подобные:

$$x^2 + 2x — 16 = 0.$$

Используем формулу дискриминанта:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 16 = 4 + 64 = 68.$$

Таким образом,

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -1 \pm \sqrt{17}.$$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

$$y = 2 — x.$$

Для $x_1 = -1 — \sqrt{17}$:

$$y_1 = 2 — (-1 — \sqrt{17}) = 2 + 1 + \sqrt{17} = 3 + \sqrt{17}.$$

Для $x_2 = -1 + \sqrt{17}$:

$$y_2 = 2 — (-1 + \sqrt{17}) = 2 + 1 — \sqrt{17} = 3 — \sqrt{17}.$$

Ответ: $x_1 = -1 — \sqrt{17}, \, y_1 = 3 + \sqrt{17}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{17}, \, y_2 = 3 — \sqrt{17}$.

б) Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = -14 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $y$:

$$y = 5 — x.$$

Подставим $y = 5 — x$ во второе уравнение:

$$x(5 — x) + 14 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$5x — x^2 + 14 = 0.$$

Умножим на $(-1)$:

$$x^2 — 5x — 14 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81.$$

Таким образом,

$$x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7.$$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

$$y = 5 — x.$$

Для $x_1 = -2$:

$$y_1 = 5 — (-2) = 7.$$

Для $x_2 = 7$:

$$y_2 = 5 — 7 = -2.$$

Ответ: $(-2; 7)$ и $(7; -2)$.

в) Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$:

$$y = x — 4.$$

Подставим $y = x — 4$ в первое уравнение:

$$x^2 + (x — 4)^2 — 26 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + x^2 — 8x + 16 — 26 = 0.$$

Приведем подобные:

$$2x^2 — 8x — 10 = 0.$$

Умножим на $\frac{1}{2}$:

$$x^2 — 4x — 5 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36.$$

Таким образом,

$$x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5.$$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

$$y = x — 4.$$

Для $x_1 = -1$:

$$y_1 = -1 — 4 = -5.$$

Для $x_2 = 5$:

$$y_2 = 5 — 4 = 1.$$

Ответ: $(-1; -5)$ и $(5; 1)$.