ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 3 Номер 7 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите задачу:
а) Лодка за одно и то же время может проплыть по течению реки 45 км, а против течения — 27 км. Скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью плывёт лодка в стоячей воде?
6) Велосипедист проехал 4 км по участку шоссе, на котором шёл ремонт, и 6 км — по уже отремонтированному участку. Его скорость на первом участке была на 4 км/ч меньше, чем на втором. На весь путь у него ушёл 1 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке?

а) Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки, тогда:

• $x + 3$ км/ч — скорость лодки по течению реки;
• $x — 3$ км/ч — скорость лодки против течения реки;
• $\frac{45}{x+3}$ ч — время, затраченное на путь по течению;
• $\frac{27}{x-3}$ ч — время, затраченное на путь против течения.

Составим и решим уравнение:

$$\frac{45}{x+3}=\frac{27}{x-3}\mathrm{\mid }\cdot (x-3)(x+3);$$

$$\frac{45}{x+3} = \frac{27}{x-3} \quad | \cdot (x-3)(x+3);$$ $$45(x-3)=27(x+3);$$

$$45(x-3) = 27(x+3);$$ $$45x-135=27x+81;$$

$$45x — 135 = 27x + 81;$$ $$45x-27x=81+135;$$

$$45x — 27x = 81 + 135;$$ $$18x = 216, \quad \text{отсюда } x = 12 \, \text{(км/ч)}.$$

Ответ: $12$ км/ч.

б) Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на первом участке, тогда:

• $x + 4$ км/ч — скорость велосипедиста на втором участке дороги;
• $\frac{4}{x}$ ч — время, затраченное на путь по первому участку дороги;
• $\frac{6}{x+4}$ ч — время, затраченное на путь по второму участку дороги.

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{4}{x}+\frac{6}{x+4}=1\mathrm{\mid }\cdot x(x+4);$$

$$\frac{4}{x} + \frac{6}{x+4} = 1 \quad | \cdot x(x+4);$$ $$4(x+4)+6x=x(x+4);$$

$$4(x+4) + 6x = x(x+4);$$ $$4x+16+6x=x^2+4x;$$

$$4x + 16 + 6x = x^2 + 4x;$$ $$x^2+4x-6x-16=0;$$

$$x^2 + 4x — 6x — 16 = 0;$$ $$x^2 — 6x — 16 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100.$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{6 — 10}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8.$$

2) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -2, \quad \text{значит } x = 8 \, \text{(км/ч)}.$$

3) Скорость велосипедиста на втором участке дороги:

$$8 + 4 = 12 \, \text{(км/ч)}.$$

Ответ: $8$ км/ч; $12$ км/ч.

а) Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки, тогда:

• $x + 3$ км/ч — скорость лодки по течению реки;
• $x — 3$ км/ч — скорость лодки против течения реки;
• $\frac{45}{x+3}$ ч — время, затраченное на путь по течению;
• $\frac{27}{x-3}$ ч — время, затраченное на путь против течения.

Составим и решим уравнение:

$$\frac{45}{x+3} = \frac{27}{x-3}.$$

Умножим обе части уравнения на $(x+3)(x-3)$, чтобы избавиться от дробей:

$$(x+3)(x-3) \cdot \frac{45}{x+3} = (x+3)(x-3) \cdot \frac{27}{x-3}.$$

Преобразуем выражение:

$$45(x-3) = 27(x+3).$$

Раскроем скобки:

$$45x — 135 = 27x + 81.$$

Приведем подобные члены:

$$45x — 27x = 81 + 135.$$ $$18x = 216.$$

Разделим обе части на 18:

$$x = \frac{216}{18} = 12.$$

Ответ: $12$ км/ч.

б) Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на первом участке, тогда:

• $x + 4$ км/ч — скорость велосипедиста на втором участке дороги;
• $\frac{4}{x}$ ч — время, затраченное на путь по первому участку дороги;
• $\frac{6}{x+4}$ ч — время, затраченное на путь по второму участку дороги.

Составим и решим уравнение:

$$\frac{4}{x} + \frac{6}{x+4} = 1.$$

Умножим обе части уравнения на $x(x+4)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x+4) \cdot \frac{4}{x} + x(x+4) \cdot \frac{6}{x+4} = x(x+4) \cdot 1.$$

Преобразуем выражение:

$$4(x+4) + 6x = x(x+4).$$

Раскроем скобки:

$$4x + 16 + 6x = x^2 + 4x.$$

Приведем подобные:

$$10x + 16 = x^2 + 4x.$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 4x — 10x — 16 = 0.$$ $$x^2 — 6x — 16 = 0.$$

Используем формулу дискриминанта:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100.$$

Тогда:

$$x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{6-10}{2}=-2,$$

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 10}{2} = -2,$$ $$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = 8.$$

Скорость не может быть отрицательной, следовательно:

$$x = 8.$$

Ответ: $8$ км/ч.

Скорость велосипедиста на втором участке дороги:

$$8 + 4 = 12 \, \text{км/ч}.$$

Ответ: $8$ км/ч; $12$ км/ч.