ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 3 Номер 6 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{3}{x+2} — 5 = \frac{4}{x-2}$;

б) $\frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4}$;

в) $x + \frac{4}{x} = 4$;

г) $\frac{x^2 — 7x — 8}{x+1} = 0$;

д) $\frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1}$;

е) $\frac{1-x}{2-x} = 2$.

а) Решите уравнение:

$$\frac{3}{x+2} — 5 = \frac{4}{x-2}.$$

Умножим обе части на $(x — 2)(x + 2)$:

$$3(x — 2) — 5(x — 2)(x + 2) = 4(x + 2).$$

Раскроем скобки:

$$3x — 6 — 5(x^2 — 4) = 4x + 8.$$

Приведем подобные:

$$3x-6-5x^2+20=4x+8.$$

$$3x — 6 — 5x^2 + 20 = 4x + 8.$$ $$-5x^2+3x-4x+14=8.$$

$$-5x^2 + 3x — 4x + 14 = 8.$$ $$-5x^2 — x + 6 = 0.$$

Умножим на $(-1)$:

$$5x^2 + x — 6 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 5 \cdot 6 = 1 + 120 = 121 = 11^2.$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{-1 — 11}{2 \cdot 5} = -1.2, \quad x_2 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = 1.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x+2\mathrm{\ne }0,\text{отсюда }x\mathrm{\ne }-2;$$

$$x + 2 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq -2;$$ $$x — 2 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq 2.$$

Ответ: $-1.2; \, 1$.

б) Решите уравнение:

$$\frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4}.$$

Умножим обе части на $4x(x+3)$:

$$4(x-3)(x+3) + 7 \cdot 4x = 5x(x+3).$$

Раскроем скобки:

$$4(x^2 — 9) + 28x = 5x^2 + 15x.$$

Приведем подобные:

$$4x^2 — 36 + 28x = 5x^2 + 15x.$$ $$-x^2 + 13x — 36 = 0.$$

Умножим на $(-1)$:

$$x^2 — 13x + 36 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25.$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0;$$ $$x + 3 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq -3.$$

Ответ: $4; \, 9$.

в) Решите уравнение:

$$x + \frac{4}{x} = 4.$$

Умножим обе части на $x$:

$$x^2 + 4 = 4x.$$

Приведем подобные:

$$x^2 — 4x + 4 = 0.$$ $$(x-2)^2 = 0.$$ $$x — 2 = 0, \quad \text{отсюда } x = 2.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0.$$

Ответ: $2$.

г) Решите уравнение:

$$\frac{x^2 — 7x — 8}{x+1} = 0.$$

Уравнение равно нулю, если числитель равен нулю:

$$x^2 — 7x — 8 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81.$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq -1.$$

Ответ: $8$.

д) Решите уравнение:

$$\frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1}.$$

Умножим обе части на $(x-2)(x+1)$:

$$x(x+1) = 10(x-2).$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + x = 10x — 20.$$

Приведем подобные:

$$x^2 + x — 10x + 20 = 0.$$ $$x^2 — 9x + 20 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 9^2 — 4 \cdot 20 = 81 — 80 = 1.$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{9 — 1}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{9 + 1}{2} = 5.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 2 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq 2;$$ $$x + 1 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq -1.$$

Ответ: $4; \, 5$.

е) Решите уравнение:

$$\frac{1-x}{2-x} = 2.$$

Умножим обе части на $2 — x$:

$$1 — x = 2(2 — x).$$

Раскроем скобки:

$$1 — x = 4 — 2x.$$

Приведем подобные:

$$-x + 2x = 4 — 1.$$ $$x = 3.$$

Выражение имеет смысл при:

$$2 — x \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq 2.$$

Ответ: $3$.

а) Решите уравнение:

$$\frac{3}{x+2} — 5 = \frac{4}{x-2}.$$

Умножим обе части уравнения на $(x+2)(x-2)$, чтобы избавиться от дробей. Обе стороны уравнения умножим на общий знаменатель:

$$(x+2)(x-2) \cdot \left( \frac{3}{x+2} — 5 \right) = (x+2)(x-2) \cdot \frac{4}{x-2}.$$

Приводим в действие:

$$3(x-2) — 5(x+2)(x-2) = 4(x+2).$$

Теперь раскроем скобки:

$$3x — 6 — 5(x^2 — 4) = 4x + 8.$$

Раскроем все скобки в уравнении:

$$3x — 6 — 5x^2 + 20 = 4x + 8.$$

Переносим все члены на одну сторону и приводим подобные:

$$-5x^2 + 3x — 4x + 20 — 6 = 8.$$

Упростим и приведем подобные:

$$-5x^2 — x + 14 = 8.$$

Убираем 8 с правой стороны:

$$-5x^2 — x + 6 = 0.$$

Умножим обе части уравнения на $(-1)$, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

$$5x^2 + x — 6 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121.$$

Корни уравнения по формуле:

$$x_1=\frac{-1-\sqrt{121}}{2\cdot 5}=\frac{-1-11}{10}=-1.2,$$

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 — 11}{10} = -1.2,$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 11}{10} = 1.$$

Ответ: $x = -1.2$, $x = 1$.

б) Решите уравнение:

$$\frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4}.$$

Умножим обе части уравнения на $4x(x+3)$, чтобы избавиться от дробей. Получим:

$$4x(x+3) \cdot \left( \frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} \right) = 4x(x+3) \cdot \frac{5}{4}.$$

Упростим каждое слагаемое:

$$4(x-3)(x+3) + 7 \cdot 4x = 5x(x+3).$$

Раскроем скобки:

$$4(x^2 — 9) + 28x = 5x^2 + 15x.$$

Приводим подобные:

$$4x^2 — 36 + 28x = 5x^2 + 15x.$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$4x^2 — 5x^2 + 28x — 15x — 36 = 0.$$

Упростим:

$$-x^2 + 13x — 36 = 0.$$

Умножим на $(-1)$:

$$x^2 — 13x + 36 = 0.$$

Используем формулу дискриминанта:

$$D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 — 144 = 25.$$

Корни уравнения по формуле:

$$x_1=\frac{-(-13)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{13-5}{2}=4,$$

$$x_1 = \frac{-(-13) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 — 5}{2} = 4,$$ $$x_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = 9.$$

Ответ: $x = 4$, $x = 9$.

в) Решите уравнение:

$$x + \frac{4}{x} = 4.$$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2 + 4 = 4x.$$

Приводим все члены на одну сторону:

$$x^2 — 4x + 4 = 0.$$

Это полное квадратное уравнение:

$$(x — 2)^2 = 0.$$

Извлекаем корень:

$$x — 2 = 0, \quad \text{отсюда } x = 2.$$

Ответ: $x = 2$.

г) Решите уравнение:

$$\frac{x^2 — 7x — 8}{x+1} = 0.$$

Уравнение равно нулю, если числитель равен нулю:

$$x^2 — 7x — 8 = 0.$$

Используем формулу дискриминанта:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-7)-\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{7-9}{2}=-1,$$

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 9}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = 8.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq -1.$$

Ответ: $x = 8$.

д) Решите уравнение:

$$\frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1}.$$

Умножим обе части на $(x-2)(x+1)$:

$$x(x + 1) = 10(x — 2).$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + x = 10x — 20.$$

Приводим все члены на одну сторону:

$$x^2 + x — 10x + 20 = 0.$$

Упростим:

$$x^2 — 9x + 20 = 0.$$

Используем формулу дискриминанта:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-9)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{9-1}{2}=4,$$

$$x_1 = \frac{-(-9) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 — 1}{2} = 4,$$ $$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = 5.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 2 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq 2;$$ $$x + 1 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq -1.$$

Ответ: $x = 4$, $x = 5$.

е) Решите уравнение:

$$\frac{1-x}{2-x} = 2.$$

Умножим обе части на $2 — x$:

$$1 — x = 2(2 — x).$$

Раскроем скобки:

$$1 — x = 4 — 2x.$$

Приводим подобные:

$$-x + 2x = 4 — 1.$$

Упростим:

$$x = 3.$$

Выражение имеет смысл при:

$$2 — x \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq 2.$$

Ответ: $x = 3$.