ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 3 Номер 5 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) $(2x — 3)(x + 1)(3 — x) = 0$;

б) $x^3 — 9x = 0$;

в) $x^4 + 3x^2 = 0$;

г) $x^4 — 7x^2 + 12 = 0$.

а) Найдите корни уравнения:

$$(2x — 3)(x + 1)(3 — x) = 0.$$

$2x — 3 = 0$;

$$2x = 3, \quad \text{отсюда } x = \frac{3}{2} = 1.5;$$

$x + 1 = 0$;

$$x = -1;$$

$3 — x = 0$;

$$x = 3;$$

Ответ: $-1; \, 1.5; \, 3$.

б) Найдите корни уравнения:

$$x^3 — 9x = 0.$$ $$x(x^2 — 9) = 0;$$ $$x(x — 3)(x + 3) = 0.$$

$x = 0$;

$x — 3 = 0$;

$$x = 3;$$

$x + 3 = 0$;

$$x = -3;$$

Ответ: $-3; \, 0; \, 3$.

в) Найдите корни уравнения:

$$x^4 + 3x^2 = 0.$$ $$x^2(x^2 + 3) = 0.$$

$x^2 = 0$;

$$x = 0;$$

$x^2 + 3 = 0$;

$$x^2 = -3 \quad \text{(корней нет)}.$$

Ответ: $0$.

г) Найдите корни уравнения:

$$x^4 — 7x^2 + 12 = 0.$$

Пусть $y = x^2$, тогда:

$$y^2 — 7y + 12 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1.$$

Тогда:

$$y_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4.$$

Вернем замену:

$$x_1 = \pm\sqrt{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \pm\sqrt{4} = \pm 2.$$

Ответ: $-2; \, -\sqrt{3}; \, \sqrt{3}; \, 2$.

а) Найдите корни уравнения:

$$(2x — 3)(x + 1)(3 — x) = 0.$$

Из первого множителя $2x — 3 = 0$:

$$2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} = 1.5.$$

Из второго множителя $x + 1 = 0$:

$$x = -1.$$

Из третьего множителя $3 — x = 0$:

$$x = 3.$$

Ответ: $x = -1$, $x = 1.5$, $x = 3$.

б) Найдите корни уравнения:

$$x^3 — 9x = 0.$$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$$x(x^2 — 9) = 0.$$

Теперь решим уравнение $x^2 — 9 = 0$, которое является разностью квадратов:

$$x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3) = 0.$$

Получаем два линейных уравнения:

$$x = 0, \quad x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3, \quad x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3.$$

Ответ: $x = -3$, $x = 0$, $x = 3$.

в) Найдите корни уравнения:

$$x^4 + 3x^2 = 0.$$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$$x^2(x^2 + 3) = 0.$$

Это уравнение состоит из двух множителей, при этом $x^2 = 0$ даёт корень $x = 0$.

Второе уравнение $x^2 + 3 = 0$ не имеет решений в действительных числах, так как $x^2 = -3$ не имеет действительных решений.

Ответ: $x = 0$.

г) Найдите корни уравнения:

$$x^4 — 7x^2 + 12 = 0.$$

Пусть $y = x^2$, тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 7y + 12 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1.$$

Находим корни уравнения с помощью формулы:

$$y_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4.$$

Вернем замену $y = x^2$:

$$x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3},$$ $$x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2.$$

Ответ: $x = -2$, $x = -\sqrt{3}$, $x = \sqrt{3}$, $x = 2$.