ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 3 Номер 4 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

$$\left( \frac{x — y}{x + y} — \frac{x + y}{x — y} \right) : \frac{4}{x^2 — y^2}.$$

$$(\frac{x-y}{x+y}-\frac{x+y}{x-y}):\frac{4}{x^2-y^2}=\frac{(x-y{)}^2-(x+y{)}^2}{(x-y)(x+y)}\cdot \frac{x^2-y^2}{4}=$$

$$\left( \frac{x — y}{x + y} — \frac{x + y}{x — y} \right) : \frac{4}{x^2 — y^2} = \frac{(x — y)^2 — (x + y)^2}{(x — y)(x + y)} \cdot \frac{x^2 — y^2}{4} =$$ $$= \frac{x^2 — 2xy + y^2 — x^2 — 2xy — y^2}{x^2 — y^2} \cdot \frac{x^2 — y^2}{4} = \frac{-4xy}{4} = -xy.$$

$$\left( \frac{x — y}{x + y} — \frac{x + y}{x — y} \right) : \frac{4}{x^2 — y^2}$$

Начнем с выражения $\frac{x — y}{x + y} — \frac{x + y}{x — y}$. Приведем это выражение к общему знаменателю, для чего числители обеих дробей должны быть представлены с одним знаменателем. Умножим первую дробь на $x — y$ и вторую на $x + y$:

$$\frac{x — y}{x + y} — \frac{x + y}{x — y} = \frac{(x — y)^2}{(x + y)(x — y)} — \frac{(x + y)^2}{(x — y)(x + y)}.$$

Теперь у нас общий знаменатель $(x + y)(x — y)$. Складываем числители:

$$\frac{(x — y)^2 — (x + y)^2}{(x + y)(x — y)}.$$

Используем формулу разности квадратов для числителей $(x — y)^2 — (x + y)^2$:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b).$$

Заменим $a = x — y$ и $b = x + y$:

$$(x — y)^2 — (x + y)^2 = \left( (x — y) — (x + y) \right) \left( (x — y) + (x + y) \right).$$

Упростим выражения внутри скобок:

$$(x — y) — (x + y) = -2y \quad \text{и} \quad (x — y) + (x + y) = 2x.$$

Теперь числитель можно записать как:

$$(x — y)^2 — (x + y)^2 = (-2y)(2x) = -4xy.$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{-4xy}{(x + y)(x — y)}.$$

Теперь у нас есть дробь, которую мы делим на $\frac{4}{x^2 — y^2}$. Вспомним, что $x^2 — y^2 = (x + y)(x — y)$. Подставим это в выражение:

$$\frac{-4xy}{(x + y)(x — y)} \cdot \frac{x^2 — y^2}{4}.$$

Подставляем $x^2 — y^2 = (x + y)(x — y)$ и упрощаем:

$$\frac{-4xy}{(x + y)(x — y)} \cdot \frac{(x + y)(x — y)}{4}.$$

Сокращаем $(x + y)(x — y)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{-4xy}{4}.$$

Упростим:

$$\frac{-4xy}{4} = -xy.$$

Ответ: $-xy$.