ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 3 Номер 3 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

$$\frac{a^2 — 1}{a^2} — \frac{a^2 — 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3}.$$

$$\frac{a^2-1}{a^2}-\frac{a^2-9}{a}\cdot \frac{1}{a+3}=\frac{a^2-1}{a^2}-\frac{(a-3)(a+3)}{a(a+3)}=\frac{a^2-1}{a^2}-\frac{a-3}{a}=$$

$$\frac{a^2 — 1}{a^2} — \frac{a^2 — 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} = \frac{a^2 — 1}{a^2} — \frac{(a — 3)(a + 3)}{a(a + 3)} = \frac{a^2 — 1}{a^2} — \frac{a — 3}{a} =$$ $$= \frac{a^2 — 1 — a(a — 3)}{a^2} = \frac{a^2 — 1 — a^2 + 3a}{a^2} = \frac{3a — 1}{a^2}.$$

$$\frac{a^2 — 1}{a^2} — \frac{a^2 — 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3}$$

Начнем с приведения второго слагаемого ко всем членам в числителе. Рассмотрим выражение $\frac{a^2 — 9}{a}$. Заметим, что $a^2 — 9$ является разностью квадратов, а разность квадратов раскладывается по формуле $x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)$. Тогда:

$$a^2 — 9 = (a — 3)(a + 3).$$

Таким образом, второй множитель преобразуется в:

$$\frac{a^2 — 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} = \frac{(a — 3)(a + 3)}{a(a + 3)}.$$

После сокращения на $(a + 3)$, получаем:

$$\frac{a — 3}{a}.$$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$$\frac{a^2 — 1}{a^2} — \frac{a — 3}{a}.$$

Преобразуем первое слагаемое. В числителе $a^2 — 1$ снова применим разность квадратов, так как $a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)$. Получаем:

$$\frac{a^2 — 1}{a^2} = \frac{(a — 1)(a + 1)}{a^2}.$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{(a — 1)(a + 1)}{a^2} — \frac{a — 3}{a}.$$

Теперь объединим два слагаемых. Для этого приведем оба выражения к общему знаменателю. Знаменатель первого слагаемого — это $a^2$, а знаменатель второго — $a$. Чтобы привести их к общему знаменателю $a^2$, умножим второе слагаемое на $a$:

$$\frac{a — 3}{a} = \frac{a(a — 3)}{a^2}.$$

Теперь оба слагаемых имеют общий знаменатель $a^2$, и их можно объединить в один числитель:

$$\frac{(a — 1)(a + 1) — a(a — 3)}{a^2}.$$

Раскроем скобки в числителе. Для первого слагаемого $(a — 1)(a + 1)$ применим формулу разности квадратов:

$$(a — 1)(a + 1) = a^2 — 1.$$

Теперь второе слагаемое $a(a — 3)$ раскроем по стандартному распределению:

$$a(a — 3) = a^2 — 3a.$$

Подставляем эти выражения в числитель:

$$\frac{a^2 — 1 — (a^2 — 3a)}{a^2}.$$

Упростим числитель, раскрывая скобки:

$$a^2 — 1 — a^2 + 3a = 3a — 1.$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{3a — 1}{a^2}.$$

Ответ: $\frac{3a — 1}{a^2}$.