ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 3 Номер 2 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Укажите множество значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл:

а) $\frac{1}{2}x^2 — 2x + 2$;

б) $\frac{x-4}{12x+3x^2}$;

в) $\frac{x^2-3}{x^2+3}$.

а) Укажите множество значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл:

$$\frac{1}{2}x^2 — 2x + 2.$$

Ответ: при любых значениях $x$.

б) Укажите множество значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл:

$$\frac{x-4}{12x+3x^2}.$$

Выражение имеет смысл при:

$$12x + 3x^2 \neq 0;$$ $$3x(4 + x) \neq 0;$$

$3x \neq 0$, отсюда $x \neq 0$;

$4 + x \neq 0$, отсюда $x \neq -4$;
Ответ: $x \neq -4$ и $x \neq 0$.

в) Укажите множество значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл:

$$\frac{x^2 — 3}{x^2 + 3}.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 + 3 \neq 0;$$ $$x^2 \neq -3 \quad \text{(корней нет)}.$$

Ответ: при любых значениях $x$.

а) Укажите множество значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл:

$$\frac{1}{2}x^2 — 2x + 2.$$

Это выражение является многочленом второй степени, и многочлены определены для всех действительных значений $x$. Таким образом, выражение имеет смысл при любых значениях $x$.
Ответ: при любых значениях $x$.

б) Укажите множество значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл:

$$\frac{x-4}{12x+3x^2}.$$

Для того чтобы дробь имела смысл, знаменатель не должен равняться нулю, то есть

$$12x + 3x^2 \neq 0.$$

Из этого уравнения можно выделить общий множитель 3:

$$3(4x + x^2) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(4 + x) \neq 0.$$

Таким образом, выражение не имеет смысла, если $3x = 0$ или $4 + x = 0$.

$3x = 0$, отсюда $x = 0$;

$4 + x = 0$, отсюда $x = -4$.
Следовательно, выражение имеет смысл, если $x \neq 0$ и $x \neq -4$.
Ответ: $x \neq -4$ и $x \neq 0$.

в) Укажите множество значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл:

$$\frac{x^2 — 3}{x^2 + 3}.$$

Для дроби $\frac{x^2 — 3}{x^2 + 3}$ важно, чтобы знаменатель $x^2 + 3$ не равнялся нулю. Рассмотрим знаменатель:

$$x^2 + 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \neq -3.$$

Однако квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \geq 0$ для всех $x$. Следовательно, уравнение $x^2 = -3$ не имеет решений в множестве действительных чисел.
Таким образом, выражение всегда имеет смысл для любых значений $x$.
Ответ: при любых значениях $x$.